逆余弦関数の原始関数
区間上に定義された逆余弦関数\(f:\mathbb{R} \supset \left( -1,1\right) \supset I\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられているものとします。つまり、\(f\)はそれぞれの\(x\in I\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\arccos \left( x\right)
\end{equation*}を定めるということです。逆余弦関数の定義域は\(\left[ -1,1\right] \)ですが、問題としている区間\(I\)は\(\left( -1,1\right) \)の部分集合であることに注意してください。理由は後述します。
逆余弦関数は連続であるため原始関数が存在します。具体的には以下の通りです。
命題（逆余弦関数の原始関数）
区間上に定義された関数\(f:\mathbb{R} \supset \left( -1,1\right) \supset I\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in I\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\arccos \left( x\right)
\end{equation*}を定めるものとする。定数\(C\in \mathbb{R} \)を任意に選んだ上で、それぞれの\(x\in I\)に対して、\begin{equation*}F\left( x\right) =x\arccos \left( x\right) -\sqrt{1-x^{2}}+C
\end{equation*}を定める関数\(F:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} \)を定義する。\(F\)は\(f\)の原始関数である。すなわち、\begin{equation*}\forall x\in I:F^{\prime }\left( x\right) =f\left( x\right)
\end{equation*}が成り立つ。
\end{equation*}を定めるものとする。定数\(C\in \mathbb{R} \)を任意に選んだ上で、それぞれの\(x\in I\)に対して、\begin{equation*}F\left( x\right) =x\arccos \left( x\right) -\sqrt{1-x^{2}}+C
\end{equation*}を定める関数\(F:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} \)を定義する。\(F\)は\(f\)の原始関数である。すなわち、\begin{equation*}\forall x\in I:F^{\prime }\left( x\right) =f\left( x\right)
\end{equation*}が成り立つ。
逆余弦関数\(\arccos \left( x\right) \)の本来の定義域は\(\left[ -1,1\right] \)ですが、先の命題において、端点\(1,-1\)が区間\(I\)に含まれないことが想定されています。なぜなら、逆余弦関数の原始関数は、\begin{equation*}F\left( x\right) =x\arccos \left( x\right) -\sqrt{1-x^{2}}+C
\end{equation*}ですが、ここに含まれる\(\arccos \left( x\right) \)は点\(1,-1\)において微分可能ではなく、ゆえに\(F\)もまた点\(1,-1\)において微分可能ではないからです。
逆余弦関数の不定積分
連続関数には原始関数と不定積分が存在することが保証されるとともに両者は一致するため、先の命題を踏まえると、連続関数である逆余弦関数について以下が成り立ちます。
命題（逆余弦関数の不定積分）
区間上に定義された関数\(f:\mathbb{R} \supset \left( -1,1\right) \supset I\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in I\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\arccos \left( x\right)
\end{equation*}を定めるものとする。\(f\)の不定積分は、\begin{equation*}\int f\left( x\right) dx=x\arccos \left( x\right) -\sqrt{1-x^{2}}+C
\end{equation*}である。ただし、\(C\)は積分定数である。
\end{equation*}を定めるものとする。\(f\)の不定積分は、\begin{equation*}\int f\left( x\right) dx=x\arccos \left( x\right) -\sqrt{1-x^{2}}+C
\end{equation*}である。ただし、\(C\)は積分定数である。
例（逆余弦関数の不定積分）
関数\(f:\mathbb{R} \supset \left( -1,1\right) \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \left( -1,1\right) \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\arccos \left( x\right)
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は区間上に定義された逆余弦関数であるため、先の命題より、\(f\)の不定積分は、\begin{equation*}\int f\left( x\right) dx=x\arccos \left( x\right) -\sqrt{1-x^{2}}+C
\end{equation*}となります。ただし、\(C\)は積分定数です。
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は区間上に定義された逆余弦関数であるため、先の命題より、\(f\)の不定積分は、\begin{equation*}\int f\left( x\right) dx=x\arccos \left( x\right) -\sqrt{1-x^{2}}+C
\end{equation*}となります。ただし、\(C\)は積分定数です。
例（逆余弦関数の不定積分）
関数\(f:\mathbb{R} \supset \left( -3,-2\right) \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \left( -3,-2\right) \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\arccos \left( 2x+5\right)
\end{equation*}を定めるものとします。この関数\(f\)は連続であるため不定積分が存在します。そこで、\begin{equation}u=g\left( x\right) =2x+5 \quad \cdots (1)
\end{equation}とおくと、その逆関数が、\begin{equation}
x=g^{-1}\left( u\right) =\frac{u-5}{2} \quad \cdots (2)
\end{equation}として得られます。\(g^{-1}\)は\(C^{1}\)級であるため逆置換を利用できます。具体的には、\begin{eqnarray*}\int f\left( x\right) dx &=&\int \arccos \left( 2x+5\right) dx \\
&=&\int \arccos \left( u\right) \frac{d}{du}g^{-1}\left( u\right) du\quad
\because \left( 1\right) \text{および置換積分} \\
&=&\int \arccos \left( u\right) \frac{1}{2}du\quad \because \left( 2\right)
\\
&=&\frac{1}{2}\int \arccos \left( u\right) du \\
&=&\frac{1}{2}\left[ u\arccos \left( u\right) -\sqrt{1-u^{2}}\right] +C \\
&=&\frac{1}{2}\left[ \left( 2x+5\right) \arccos \left( 2x+5\right) -\sqrt{1-\left( 2x+5\right) ^{2}}\right] +C\quad \because \left( 1\right) \\
&&\frac{\left( 2x+5\right) \arccos \left( 2x+5\right) -\sqrt{1-\left(
2x+5\right) ^{2}}}{2}+C
\end{eqnarray*}となります。ただし、\(C\)は積分定数です。
\end{equation*}を定めるものとします。この関数\(f\)は連続であるため不定積分が存在します。そこで、\begin{equation}u=g\left( x\right) =2x+5 \quad \cdots (1)
\end{equation}とおくと、その逆関数が、\begin{equation}
x=g^{-1}\left( u\right) =\frac{u-5}{2} \quad \cdots (2)
\end{equation}として得られます。\(g^{-1}\)は\(C^{1}\)級であるため逆置換を利用できます。具体的には、\begin{eqnarray*}\int f\left( x\right) dx &=&\int \arccos \left( 2x+5\right) dx \\
&=&\int \arccos \left( u\right) \frac{d}{du}g^{-1}\left( u\right) du\quad
\because \left( 1\right) \text{および置換積分} \\
&=&\int \arccos \left( u\right) \frac{1}{2}du\quad \because \left( 2\right)
\\
&=&\frac{1}{2}\int \arccos \left( u\right) du \\
&=&\frac{1}{2}\left[ u\arccos \left( u\right) -\sqrt{1-u^{2}}\right] +C \\
&=&\frac{1}{2}\left[ \left( 2x+5\right) \arccos \left( 2x+5\right) -\sqrt{1-\left( 2x+5\right) ^{2}}\right] +C\quad \because \left( 1\right) \\
&&\frac{\left( 2x+5\right) \arccos \left( 2x+5\right) -\sqrt{1-\left(
2x+5\right) ^{2}}}{2}+C
\end{eqnarray*}となります。ただし、\(C\)は積分定数です。
例（逆余弦関数の不定積分）
関数\(f:\mathbb{R} \supset \left( -1,1\right) \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \left( -1,1\right) \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\frac{\arccos \left( x\right) }{\sqrt{1-x^{2}}}
\end{equation*}を定めるものとします。この関数\(f\)は連続であるため不定積分が存在します。そこで、変数\(x\in \left( -1,1\right) \)に関する関数\(g\)を、\begin{equation}u=g\left( x\right) =\arccos \left( x\right) \quad \cdots (1)
\end{equation}とおくと、変数\(u\in \left( 0,\pi\right) \)に関する逆関数\(g^{-1}\)が、\begin{equation}x=g^{-1}\left( u\right) =\cos \left( u\right) \quad \cdots (2)
\end{equation}として得られます。\(g^{-1}\)は\(C^{1}\)級であるため逆置換を利用できます。具体的には、\begin{eqnarray*}\int f\left( x\right) dx &=&\int \frac{\arccos \left( x\right) }{\sqrt{1-x^{2}}}dx \\
&=&\int \frac{u}{\sqrt{1-\cos ^{2}\left( u\right) }}\frac{d}{du}g^{-1}\left(
u\right) du\quad \because \left( 1\right) ,\left( 2\right) \text{および置換積分} \\
&=&\int -\frac{u}{\sqrt{\sin ^{2}\left( u\right) }}\sin \left( u\right)
du\quad \because \left( 2\right) \\
&=&\int -\frac{u}{\sin \left( u\right) }\sin \left( u\right) du\quad
\because u\in \left( 0,\pi \right) \\
&=&-\int udu \\
&=&-\frac{1}{2}u^{2}+C \\
&=&-\frac{\left[ \arccos \left( x\right) \right] ^{2}}{2}+C\quad \because
\left( 1\right)
\end{eqnarray*}となります。ただし、\(C\)は積分定数です。
\end{equation*}を定めるものとします。この関数\(f\)は連続であるため不定積分が存在します。そこで、変数\(x\in \left( -1,1\right) \)に関する関数\(g\)を、\begin{equation}u=g\left( x\right) =\arccos \left( x\right) \quad \cdots (1)
\end{equation}とおくと、変数\(u\in \left( 0,\pi\right) \)に関する逆関数\(g^{-1}\)が、\begin{equation}x=g^{-1}\left( u\right) =\cos \left( u\right) \quad \cdots (2)
\end{equation}として得られます。\(g^{-1}\)は\(C^{1}\)級であるため逆置換を利用できます。具体的には、\begin{eqnarray*}\int f\left( x\right) dx &=&\int \frac{\arccos \left( x\right) }{\sqrt{1-x^{2}}}dx \\
&=&\int \frac{u}{\sqrt{1-\cos ^{2}\left( u\right) }}\frac{d}{du}g^{-1}\left(
u\right) du\quad \because \left( 1\right) ,\left( 2\right) \text{および置換積分} \\
&=&\int -\frac{u}{\sqrt{\sin ^{2}\left( u\right) }}\sin \left( u\right)
du\quad \because \left( 2\right) \\
&=&\int -\frac{u}{\sin \left( u\right) }\sin \left( u\right) du\quad
\because u\in \left( 0,\pi \right) \\
&=&-\int udu \\
&=&-\frac{1}{2}u^{2}+C \\
&=&-\frac{\left[ \arccos \left( x\right) \right] ^{2}}{2}+C\quad \because
\left( 1\right)
\end{eqnarray*}となります。ただし、\(C\)は積分定数です。
逆余弦関数の定積分
逆余弦関数の原始関数が明らかになったため、微分積分学の第2基本定理を用いることにより、逆余弦関数の定積分を特定できます。具体的には以下の通りです。
命題（逆余弦関数の定積分）
区間上に定義された関数\(f:\mathbb{R} \supset \left( -1,1\right) \supset I\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in I\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\arccos \left( x\right)
\end{equation*}を定めるものとする。\(a<b\)を満たす点\(a,b\in I\)を任意に選んだとき、\(f\)は\(\left[ a,b\right] \)上でリーマン積分可能であり、定積分は、\begin{eqnarray*}\int_{a}^{b}f\left( x\right) dx &=&\left[ x\arccos \left( x\right) -\sqrt{1-x^{2}}\right] _{a}^{b} \\
&=&\left[ b\arccos \left( x\right) -\sqrt{1-b^{2}}\right] -\left[ a\arccos
\left( x\right) -\sqrt{1-a^{2}}\right] \end{eqnarray*}となる。
\end{equation*}を定めるものとする。\(a<b\)を満たす点\(a,b\in I\)を任意に選んだとき、\(f\)は\(\left[ a,b\right] \)上でリーマン積分可能であり、定積分は、\begin{eqnarray*}\int_{a}^{b}f\left( x\right) dx &=&\left[ x\arccos \left( x\right) -\sqrt{1-x^{2}}\right] _{a}^{b} \\
&=&\left[ b\arccos \left( x\right) -\sqrt{1-b^{2}}\right] -\left[ a\arccos
\left( x\right) -\sqrt{1-a^{2}}\right] \end{eqnarray*}となる。
例（逆余弦関数の定積分）
関数\(f:\mathbb{R} \supset \left( -1,1\right) \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \left( -1,1\right) \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\arccos \left( x\right)
\end{equation*}を定めるものとします。先に示したように、\begin{equation*}
\int f\left( x\right) dx=x\arccos \left( x\right) -\sqrt{1-x^{2}}+C
\end{equation*}であるため、例えば、\begin{eqnarray*}
\int_{0}^{\frac{1}{2}}f\left( x\right) dx &=&\left[ x\arccos \left( x\right)
-\sqrt{1-x^{2}}\right] _{0}^{\frac{1}{2}} \\
&=&\left[ \frac{1}{2}\arccos \left( \frac{1}{2}\right) -\sqrt{\frac{3}{4}}\right] -\left( 0-1\right) \\
&=&\frac{\pi }{6}-\sqrt{\frac{3}{4}}+1
\end{eqnarray*}となります。
\end{equation*}を定めるものとします。先に示したように、\begin{equation*}
\int f\left( x\right) dx=x\arccos \left( x\right) -\sqrt{1-x^{2}}+C
\end{equation*}であるため、例えば、\begin{eqnarray*}
\int_{0}^{\frac{1}{2}}f\left( x\right) dx &=&\left[ x\arccos \left( x\right)
-\sqrt{1-x^{2}}\right] _{0}^{\frac{1}{2}} \\
&=&\left[ \frac{1}{2}\arccos \left( \frac{1}{2}\right) -\sqrt{\frac{3}{4}}\right] -\left( 0-1\right) \\
&=&\frac{\pi }{6}-\sqrt{\frac{3}{4}}+1
\end{eqnarray*}となります。
逆余弦関数と純変化量定理
純変化量定理を再掲します。これは微分積分学の第2基本定理から導かれます。
命題（純変化量定理）
\(a<b\)を満たす実数\(a,b\in \mathbb{R} \)を端点とする有界閉区間上に定義された関数\(f:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \)が\(\left[ a,b\right] \)上で連続かつ\(\left( a,b\right) \)上で微分可能であるものとする。さらに、関数\(\frac{df}{dx}:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \)は\(\left[ a,b\right] \)上でリーマン積分可能であるものとする。この場合には、以下の関係\begin{equation*}f\left( b\right) -f\left( a\right) =\int_{a}^{b}\frac{df\left( x\right) }{dx}dx
\end{equation*}が成立する。
\end{equation*}が成立する。
導関数\(\frac{df}{dx}\)がそれぞれの点\(x\in \left( a,b\right) \)に対して定める値、すなわち点\(x\)における\(f\)の微分係数\begin{equation*}\frac{df\left( x\right) }{dx}=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f\left( x+h\right)
-f\left( x\right) }{h}
\end{equation*}とは、点\(x\)における\(f\left(x\right) \)の瞬間変化率に相当する概念です。純変化量定理によると、この瞬間変化率\(\frac{df\left( x\right) }{dx}\)を区間\(\left[ a,b\right] \)上で積分することにより、変数\(x\)が点\(a\)から点\(b\)へ変化する場合の前後における\(f\left( x\right) \)の変化量\begin{equation*}f\left( b\right) -f\left( a\right)
\end{equation*}が得られます。
例（逆余弦関数と純変化量定理）
直線上を左右に動く物体をカメラで追跡します。物体の位置を正規化して、\begin{equation*}
x\in \left( -1,1\right)
\end{equation*}と表記します。このとき、カメラの向きは、\begin{equation*}
\theta \left( x\right) =\arccos \left( x\right)
\end{equation*}で与えられるものとします。カメラの制御装置では、角度の変化の大きさに比例して負荷が発生し、位置\(x\)における単位距離あたりの負荷が、\begin{equation*}E^{\prime }\left( x\right) =\frac{\arccos \left( x\right) }{\sqrt{1-x^{2}}}
\end{equation*}で与えられるものとします。\(-1<a<b<1\)を満たす\(a,b\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、物体が\(a\)から\(b\)へ移動したときの制御装置への総負荷は、\begin{eqnarray*}E\left( b\right) -E\left( a\right) &=&\int_{a}^{b}E^{\prime }\left(
x\right) dx \\
&=&\int_{a}^{b}\frac{\arccos \left( x\right) }{\sqrt{1-x^{2}}}dx \\
&=&\left[ -\frac{\left[ \arccos \left( x\right) \right] ^{2}}{2}\right] _{a}^{b} \\
&=&-\frac{\left[ \arccos \left( b\right) \right] ^{2}}{2}+\frac{\left[
\arccos \left( a\right) \right] ^{2}}{2} \\
&=&\frac{1}{2}\left\{ \left[ \arccos \left( a\right) \right] ^{2}-\left[
\arccos \left( b\right) \right] ^{2}\right\}
\end{eqnarray*}です。
x\in \left( -1,1\right)
\end{equation*}と表記します。このとき、カメラの向きは、\begin{equation*}
\theta \left( x\right) =\arccos \left( x\right)
\end{equation*}で与えられるものとします。カメラの制御装置では、角度の変化の大きさに比例して負荷が発生し、位置\(x\)における単位距離あたりの負荷が、\begin{equation*}E^{\prime }\left( x\right) =\frac{\arccos \left( x\right) }{\sqrt{1-x^{2}}}
\end{equation*}で与えられるものとします。\(-1<a<b<1\)を満たす\(a,b\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、物体が\(a\)から\(b\)へ移動したときの制御装置への総負荷は、\begin{eqnarray*}E\left( b\right) -E\left( a\right) &=&\int_{a}^{b}E^{\prime }\left(
x\right) dx \\
&=&\int_{a}^{b}\frac{\arccos \left( x\right) }{\sqrt{1-x^{2}}}dx \\
&=&\left[ -\frac{\left[ \arccos \left( x\right) \right] ^{2}}{2}\right] _{a}^{b} \\
&=&-\frac{\left[ \arccos \left( b\right) \right] ^{2}}{2}+\frac{\left[
\arccos \left( a\right) \right] ^{2}}{2} \\
&=&\frac{1}{2}\left\{ \left[ \arccos \left( a\right) \right] ^{2}-\left[
\arccos \left( b\right) \right] ^{2}\right\}
\end{eqnarray*}です。
演習問題
問題（逆余弦関数の不定積分）
関数\(f:\mathbb{R} \supset \left( -1,1\right) \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \left( -1,1\right) \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\frac{\left[ \arccos \left( x\right) \right] ^{3}}{\sqrt{1-x^{2}}}
\end{equation*}を定めるものとします。不定積分\begin{equation*}
\int f\left( x\right) dx
\end{equation*}を求めてください。
\end{equation*}を定めるものとします。不定積分\begin{equation*}
\int f\left( x\right) dx
\end{equation*}を求めてください。
問題（逆余弦関数の不定積分）
関数\(f:\mathbb{R} \supset \left( -1,1\right) \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \left( -1,1\right) \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\frac{1+\arccos \left( x\right) }{\sqrt{1-x^{2}}}
\end{equation*}を定めるものとします。不定積分\begin{equation*}
\int f\left( x\right) dx
\end{equation*}を求めてください。
\end{equation*}を定めるものとします。不定積分\begin{equation*}
\int f\left( x\right) dx
\end{equation*}を求めてください。
問題（逆余弦関数の不定積分）
関数\(f:\mathbb{R} \supset \left( -1,1\right) \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \left( -1,1\right) \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\frac{e^{\arccos \left( x\right) }}{\sqrt{1-x^{2}}}
\end{equation*}を定めるものとします。不定積分\begin{equation*}
\int f\left( x\right) dx
\end{equation*}を求めてください。
\end{equation*}を定めるものとします。不定積分\begin{equation*}
\int f\left( x\right) dx
\end{equation*}を求めてください。
問題（逆余弦関数の不定積分）
関数\(f:\mathbb{R} \supset \left( -1,1\right) \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \left( -1,1\right) \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =x\arccos \left( x\right)
\end{equation*}を定めるものとします。不定積分\begin{equation*}
\int f\left( x\right) dx
\end{equation*}を求めてください。
\end{equation*}を定めるものとします。不定積分\begin{equation*}
\int f\left( x\right) dx
\end{equation*}を求めてください。
プレミアム会員専用コンテンツです
【ログイン】【会員登録】