全単射
座標ベクトル
線形写像の表現行列と行列表現
実ベクトル空間の間に定義された線形写像を行列を用いて表現できるように、一般のベクトル空間の間に定義された線形写像についても、ベクトル空間の基底を指定すれば、それを行列を用いて表現できます。
全単射
線形写像が全射・単射・全単射であることの判定
線形写像の値域と終集合が一致することと、その線形写像が全射であることは必要十分条件です。線形写像の核がゼロベクトル空間であることと、その線形写像が単射であることは必要十分です。
値域
線形写像の次元定理（線形写像の基本定理）
線形写像の定義域であるベクトル空間が有限次元を持つ場合、その線形写像の核と値域もまた有限次元になるとともに、定義域の次元は、核の次元と値域の次元の和と一致します。これを次元定理や線形写像の基本定理と呼びます。
ゼロ空間
ベクトル空間
ベクトル空間における座標ベクトル（基底のもとでのベクトルの座標）
ベクトル空間における基底が与えられれば、それぞれのベクトルは基底ベクトルの線型結合として一意的に表されます。そこで、ベクトルの線型結合を特徴づけるスカラーの組をそのベクトルの座標と呼びます。
ベクトル空間
部分空間（部分ベクトル空間）の基底と次元
部分空間から選ぶことができる線型独立なベクトルの個数の最大値をその部分空間の次元と呼びます。次元が有限である場合、その値は1つの非負の整数として定まることが保証されます。
ガウス・ジョルダンの消去法
ベクトル値関数のベクトル和
距離空間上の写像どうしの和（ベクトル和）の連続性（和の法則）
距離空間上に定義された複数の写像が実数値、複素数値、ベクトル値などをとるとともに連続である場合、それらの和（ベクトル和）として定義される写像もまた連続です。
ガウス・ジョルダンの消去法
連立1次方程式を用いた線型従属・線型独立であることの判定
実ベクトル空間の部分集合であるベクトル集合が線型従属ないし線型独立であることを判定するために連立1次方程式を利用する方法について解説します。
ポアソン分布
二項分布とポアソン分布の関係
二項分布の確率密度関数には組合せの数が関与するため、試行パラメータnが大きい場合には計算が困難です。試行パラメータnが十分大きく成功パラメータpが十分小さい場合、二項分布はポアソン分布によって近似できるため、計算が容易になります。
ベクトル値関数のスカラー倍
距離空間上の写像のスカラー倍の連続性（スカラー倍の法則）
距離空間上に定義された写像が実数値、複素数値、ベクトル値などをとるとともに連続である場合、そのスカラー倍として定義される写像もまた連続です。
アロー・プラットの絶対的リスク回避度
アロー・プラットの絶対的リスク回避度
アロー・プラットの絶対的リスク回避度の符号を通じて主体のリスク選好（リスク回避的・中立的・愛好的）を判定できます。また、絶対的リスク回避度の値を通じてリスク回避の度合いを比較できます。
ノルム
距離空間上の写像の絶対値（ノルム）の極限
距離空間上に定義された複数の写像が実数値、複素数値、ベクトル値などをとるとともに収束する場合、それらの写像の絶対値（ノルム）として定義される写像もまた収束します。
乗法
距離空間上の写像どうしの積（内積）の極限（積の法則）
距離空間上に定義された複数の写像が実数値、複素数値、ベクトル値などをとるとともに収束する場合、それらの写像の積（内積）として定義される写像もまた収束します。
ベクトル加法
距離空間上の写像どうしの和（ベクトル和）の極限（和の法則）
距離空間上に定義された複数の写像が実数値、複素数値、ベクトル値などをとるとともに収束する場合、それらの写像の和（ベクトル和）として定義される写像もまた収束します。
導集合
触点
距離空間における触点・閉包
距離空間の部分集合Aが与えられたとき、点aの任意の近傍がAと交わるならば、aをAの触点と呼びます。また、Aのすべての触点からなる集合をAの閉包と呼びます。
の定数倍
距離空間上の写像のスカラー倍の極限（スカラー倍の法則）
距離空間上に定義された写像が実数値、複素数値、ベクトル値などをとるとともに収束する場合、そのスカラー倍として定義される写像もまた収束します。
位相同型
同相写像・位相同型（同相）な距離空間
距離空間Xから距離空間Yへの連続な全単射fの逆写像もまた連続である場合、もとの写像fを同相写像と呼びます。2つの距離空間の間に同相写像が存在する場合、それらの距離空間は位相同型（同相）であると言います。
実数ベキ関数
実数ベキ関数（実数指数の累乗関数）の定義と具体例
次数が実数であるようなベキ関数を実数ベキ関数と呼びます。次数が正の実数である場合、実数ベキ関数は狭義単調増加関数になります。次数が負の実数である場合、実数ベキ関数は狭義単調減少関数になります。
写像
イプシロン・デルタ論法を用いた写像の連続性の判定
距離空間上に定義された写像が連続であることを、写像の極限の概念を経由せず、イプシロン・デルタ論法を用いて定義することもできます。
写像
写像
点列を用いた写像の収束判定
距離空間上に定義された写像が収束することをイプシロン・デルタ論法を用いて証明するのは困難です。写像が収束する・収束しないことを点列を用いて判定する方法を解説します。
写像の極限
距離空間上の写像の極限（収束する写像）
距離空間の部分集合Aが与えられたとき、点aの任意の近傍がAとAの補集合の双方と交わるならば、aをAの境界点と呼びます。また、Aのすべての境界点からなる集合をAの境界と呼びます。
等長
等長な距離空間
距離空間X上に存在する2つの点を写像fを通じて距離空間Y上の点に変換しても2つの点の間の距離が変わらない場合、fを等長写像と呼びます。また、全単射であるような等長写像が存在する場合、XとYは距離空間として等長であると言います。
リプシッツ関数
縮小関数の不動点定理（縮小写像の原理）
リプシッツ定数が1より小さいリプシッツ関数を縮小関数と呼びます。縮小関数の定義域が完備集合であり、なおかつ値域が定義域の部分集合である場合、その関数は不動点を持ちます。
コーシー列
実数空間の完備部分集合
実数空間Rの非空な部分集合Aの要素を項として持つ任意のコーシー列の極限がAの要素になる場合、Aを完備な部分集合と呼びます。実数空間の部分集合が完備であることと、その集合が閉集合であることは必要十分です。
3重積分
球面座標（空間極座標）を活用した3重積分の計算
空間上の領域に定義された3変数関数を3重積分するのが困難である場合、積分領域と被積分関数を球面座標（空間極座標）に変換してから3重積分をとることにより計算が簡単になることがあります。
3重積分
円筒座標（空間極座標）を活用した3重積分の計算
空間上の領域に定義された3変数関数を3重積分するのが困難である場合、積分領域と被積分関数を円筒座標（空間極座標）に変換してから3重積分をとることにより計算が簡単になることがあります。
2重積分
円座標（平面極座標）を活用した2重積分の計算
平面上の領域に定義された2変数関数を2重積分するのが困難である場合、積分領域と被積分関数を円座標（平面極座標）に変換してから2重積分をとることにより計算が簡単になることがあります。
多重積分
一般の領域上に定義された多変数関数の多重積分
直方体域とは限らない一般の領域上に定義された多変数関数が多重リーマン積分可能であるための条件を特定するとともに、多重リーマン積分を具体的に導出する方法を解説します。
サイクロイド
区分的に滑らかな曲線の長さ
空間上に存在する曲線が滑らかでない場合でも、それを有限個の滑らかな弧に分割できる場合には、個々の弧の長さの総和をとることにより、もとの曲線の長さを特定できます。
リーマン積分
全体集合
直積の補集合
集合の直積の補集合は、個々の集合の補集合の直積と一致するとは限りません。集合の直積の補集合は、個々の集合の補集合と全体集合の直積どうしの和集合として表現することはできます。
タルスキの不動点定理
関数に関するタルスキの不動点定理
有界閉区間上に定義された関数の値域が定義域の部分集合であるとともに、その関数が連続である場合や、単調増加である場合などには、その関数は不動点を持つことが保証されます。
関数の極限
変数変換を用いた関数の極限の特定
関数の極限をそのままでは特定するのが難しい場合、変数を変換することにより極限を容易に特定できるようになる場合があります。変数を変換した上で関数の極限を特定する方法について解説します。
合成関数の微分
関連する変化率
2つの変数が関数を用いて関連付けられている場合、合成関数の微分を用いることにより、一方の変数の瞬間変化率が判明すれば、もう一方の変数の瞬間変化率も判明します。これを関連する変化率（related rates）と呼びます。
座標
円座標系
全順序
整列原理
自然数集合は整列集合であるという事実を整列原理と呼びます。整列原理は数学的帰納法の原理や完全帰納法の原理と必要十分です。整列原理は背理法を用いた証明において有用です。
上界・下界
順序部分集合の上限・下限
非空な順序部分集合が上に有界であるとともに、上界からなる集合が最小元を持つ場合、それを上限と呼びます。また、非空な順序部分集合が下に有界であるとともに、下界からなる集合が最大元を持つ場合、それを下限と呼びます。
3重積分
一般の領域上に定義された3変数関数の3重積分
直方体領域とは限らない一般の領域上に定義された3変数関数が3重リーマン積分可能であるための条件を特定するとともに、3重リーマン積分を具体的に導出する方法を解説します。
2重積分
一般の領域上に定義された2変数関数の2重積分
長方形領域とは限らない一般の領域上に定義された2変数関数が2重リーマン積分可能であるための条件を特定するとともに、2重リーマン積分を具体的に導出する方法を解説します。
フビニの定理
逐次積分を用いた多重積分の特定（フビニの定理）
有界かつ閉な直方体上に定義された多変数関数が連続である場合、関数は多重積分かつ逐次積分可能であるとともに、逐次積分の値は多重積分の値と一致します。これをフビニの定理と呼びます。
