独立同一分布（i.i.d.）にしたがう有限個の離散型確率変数
有限個（3個以上）の離散型確率変数が独立であるとともに同一分布にしたがう場合、それらの確率変数は独立同一分布にしたがう（i.d.d.）と言います。
固有値の固有空間とその次元
正方行列の固有値に対応するすべての列固有ベクトルとゼロベクトルからなるベクトル集合を、その固有値の固有空間と呼びます。固有空間は実ベクトル空間の部分空間であるとともに、その次元は固有値の重複度以下になります。
固有多項式（特性多項式）を用いた固有値の特定方法
正方行列の固有値が明らかになれば、固有値に対応する列固有ベクトルを特定できます。また、固有値は固有多項式と呼ばれる多項式関数の根と一致するため、固有値を特定する作業を多項式関数の根を特定する作業へ帰着させることができます。
正方行列の固有値と固有ベクトルの定義
正方行列に関する固有値問題と呼ばれる問題を定義するとともに、その解に相当する固有値および固有ベクトルを定義します。固有値と固有ベクトルは正方行列の対角化と深い関係があります。
正方行列の対角化可能性とその利点
正方行列が何らかの対角行列と相似である場合、その正方行列は対角化可能であると言います。正方行列を対角化することにより、よりシンプルな構造を持つ行列が得られます。
相似な線形変換と相似な正方行列
同一の線形変換を異なる基底のもとで表現した場合、両者は相似であると言います。2つの線形変換が相似であることは、それらを特徴づける正方行列が相似であることを意味します。
実ベクトル空間におけるベクトルの座標
実ベクトル空間における基底が与えられれば、それぞれのベクトルは基底ベクトルの線型結合として一意的に表されます。そこで、ベクトルの線型結合を特徴づけるスカラーの組をそのベクトルの座標と呼びます。
複数の線型不等式制約条件のもとでの多変数関数の最大化問題
多変数関数の変数がとり得る値の範囲が複数の線型不等式によって制限されている場合に、関数の最大点が満たす条件（クーン・タッカー条件）を特定するとともに、最大点を具体的に導出する方法（ラグランジュの未定乗数法）について解説します。
連立1次方程式の加減法と行基本操作の関係
初等数学では連立1次方程式の解法として加減法を学びました。加減法は連立1次方程式の拡大係数行列に対して行う行簡約と操作として一致します。以上の観点のもと、加減法が連立1次方程式の解法として有効であることの根拠を説明します。
行簡約を用いた正則行列の判定と逆行列の導出
正方行列の行標準形が単位行列であることは、その行列が正則であるための必要十分条件です。行標準形を導出するための行簡約をそのまま単位行列に適用すれば逆行列が得られます。
行基本行列
単位行列に対して行基本操作の中の1つを適用することに得られる行列を行基本行列と呼びます。行列に対して行基本操作を適用することは、基本行列とその行列の行列積をとることと操作として一致します。
行列の列基本操作（列同値な行列）
行列の2つの列を入れ替える、特定の列に非ゼロのスカラーを掛ける、ある列に別の列のスカラー倍を加える、などの操作を総称して列基本操作と呼びます。
有理数のデデキント切断
数直線上には有理数が細かく密集して分布しているものの、有理数の間は隙間だらけであり、無理数がその隙間を埋めています。以上の主張を集合を用いて厳密に表現するためにデデキント切断と呼ばれる概念を導入します。
実ベクトル空間上の線形写像が全単射であることの判定
定義域と終集合が一致する線形写像だけが全単射になり得ることを示すとともに、線形写像が全単射であることを判定する方法について解説します。
実行列空間の定義
実数を成分とする行列からなる集合上に行列加法とスカラー乗法と呼ばれている演算が定義されている場合、そのような集合を実行列空間と呼びます。実行列空間はベクトル空間です。
線形写像空間の定義
定義域と終集合を共有する線形写像からなる集合上に加法とスカラー乗法と呼ばれる演算が定義されている場合、そのような集合を線形写像空間と呼びます。線形写像空間はベクトル空間です。
実ベクトル空間の定義
実数を成分とするベクトルからなる集合上にベクトル加法とスカラー乗法と呼ばれている演算が定義されている場合、そのような集合を実ベクトル空間と呼びます。実ベクトル空間はベクトル空間です。
線形写像のスカラー乗法（線形写像のスカラー倍）
線形写像が定めるベクトルのスカラー倍を像として定める写像を定義すると、それもまた線形写像になります。線形写像のスカラー乗法は行列のスカラー乗法と実質的に等しい演算です。
線形写像の加法（線形写像の和）
定義域と終集合を共有する2つの線形写像が与えられたとき、それらが定めるベクトルどうしの和を像として定める写像を定義すると、それもまた線形写像になります。線形写像の加法は行列加法と実質的に等しい演算です。
実ベクトル空間上の線形写像が単射であることの判定
写像が線形写像である場合には、それが単射であることを様々な形で表現できます。線形写像が単射であることを判定する方法について解説します。
実ベクトル空間上の線形写像が全射であることの判定
写像が線形写像である場合には、それが全射であることを様々な形で表現できます。線形写像が全射であることを判定する方法について解説します。
実ベクトル空間のアフィン部分空間の定義と具体例
実ベクトル空間の部分空間上に存在するすべての点を同一方向に同一量だけ動かすことで得られる点からなる集合をアフィン部分空間と呼びます。アフィン部分空間は部分空間であるとは限りません。
連立1次方程式の解集合は線形写像の逆像
連立1次方程式の係数行列から定義される線形写像が連立1次方程式の定数ベクトルに対して定める逆像は、その連立1次方程式の解集合と一致します。
実ベクトル空間上の線形写像の値域（像）
線形写像の値域は、その線形写像の標準行列の列空間と一致します。列空間は実ベクトル空間の部分空間であるため、線形写像の値域もまた実ベクトル空間の部分空間です。
行列の行標準形（階段行列を用いた行列の階数の特定）
行列にガウス・ジョルダンの消去法を適用することで得られる行既約な階段行列はもとの行列と行同値であるような唯一の行既約な階段行列です。その階段行列に含まれる非ゼロベクトルな行の個数はもとの行列の階数と一致します。
実ベクトル空間上の線形写像（線形変換・1次変換）の定義と具体例
定義域と終集合がともに実ベクトル空間であるような写像が加法性と斉次性と呼ばれる2つの性質を満たすとき、そのような写像を線形写像と呼びます。特に、定義域と終集合が一致する線形写像を線形変換と呼びます。
行列の行基本操作（行同値な行列）
行列の2つの行を入れ替える、特定の行に非ゼロのスカラーを掛ける、ある行に別の行のスカラー倍を加える、などの操作を総称して行基本操作と呼びます。
行列の階数（行列の行空間と列空間）
行列のすべての行（列）からなる集合の線型スパンを行列の行空間（列空間）と呼び、行空間（列空間）の次元を行列の行階数（列階数）と呼びます。行階数と列階数は常に一致するため、その共通の値を行列の階数と呼びます。
実ベクトル空間の部分空間の基底と次元
実ベクトル空間の部分空間を張る線型独立なベクトル集合を部分空間の基底と呼びます。また、部分空間を張るために必要なベクトルの個数の最小値を部分空間の次元と呼びます。
行列の線型結合と線型スパン
実行列空間において、行列のスカラー倍どうしの和として表される行列を線型結合と呼びます。実行列空間の部分集合に属する行列の線型結合をすべて集めてできる集合を線型スパンと呼びます。
実ベクトル空間上のベクトルの線型結合と線型スパン
実ベクトル空間において、ベクトルのスカラー倍どうしの和として表されるベクトルを線型結合と呼びます。実ベクトル空間の部分集合に属するベクトルの線型結合をすべて集めてできる集合を線型スパンと呼びます。
実ベクトル空間の部分空間の定義と具体例
実ベクトル空間の部分空間と呼ばれる概念を定義するとともに、部分空間の具体例を提示し、部分空間であることを判定する方法について解説します。
