多変数関数の和の上積分・下積分・定積分
n次元空間上に存在する有界かつ閉な直方体領域上に定義された2つの多変数関数が多重リーマン積分可能である場合、それらの和として定義される多変数関数もまた多重リーマン積分可能です。
多変数関数の定積分の加法性
n次元空間上に存在する有界かつ閉な直方体領域上に定義された多変数関数が多重リーマン積分可能であることと、その関数がすべての小直方体領域において多重リーマン積分可能であることは必要十分です。
多変数関数の定数倍の上積分・下積分・定積分
n次元空間上に存在する有界かつ閉な直方体領域上に定義された多変数関数が多重リーマン積分可能である場合、その関数の定数倍として定義される多変数関数もまた多重リーマン積分可能です。
連続な多変数関数の多重リーマン積分可能性
n次元空間上に存在する有界かつ閉な直方体領域上に定義された多変数関数が連続関数である場合、その関数は領域上で多重リーマン積分可能です。
多変数関数の連続性と一様連続性の関係
一様連続な多変数関数は連続である一方、連続関数は一様連続であるとは限りません。ただ、連続関数の定義域がコンパクト集合である場合、その関数が一様連続であることが保証されます。
多変数のリプシッツ関数と一様連続関数の関係
多変数関数がリプシッツ関数であることの意味を定義します。リプシッツ関数は一様連続ですが、一様連続関数はリプシッツ関数であるとは限りません。
多変数の単調関数の多重リーマン積分可能性
n次元空間上に存在する直方体領域上に定義された多変数関数が単調関数である場合、すなわち単調増加または単調減少である場合、その関数は領域上で多重リーマン積分可能です。
上リーマン積分と下リーマン積分を用いた多重リーマン積分可能性の判定
n次元空間上に存在する直方体領域上に定義された有界な多変数関数の上リーマン積分と下リーマン積分が一致することは、その関数が多重リーマン積分可能であるための必要十分条件です。
多変数関数の上リーマン積分と下リーマン積分（ダルブーの定理）
n次元空間上に存在する直方体領域上に定義された有界な多変数関数の上リーマン積分と下リーマン積分を定義するとともに、極限を用いて上リーマン積分や下リーマン積分を特定する方法を解説します。
連続型確率変数を変換した場合の確率分布の変化
連続型の確率変数を単調増加変換した場合や単調減少変換した場合、または標準化した場合などについて、変換後の確率分布を求める方法を解説します。
離散型確率変数を変換した場合の確率分布の変化
離散型の確率変数を単調増加変換した場合、単調減少変換した場合、単射との合成関数をとった場合、標準化した場合などについて、変換後の確率分布を求める方法を解説します。
有理数の定義
整数と非ゼロの整数の比として表現される実数を有理数と呼びます。有理数集合上に加法と乗法と大小関係を定義すると全順序体になります。その一方で、有理数集合は連続性を満たしません。
多変数関数の多重リーマン積分可能性と定積分の定義
n次元空間上に存在する有界かつ閉な直方体領域上に定義された有界な多変数関数が多重リーマン積分可能であることの意味を定義するとともに、多重リーマン積分可能であること、ないし多重リーマン積分可能ではないことを判定する方法を解説します。
正規分布（ガウス分布）と標準正規分布
人間の身長の分布や試験の得点の分布など、現実の様々な局面において正規分布は登場します。また、試行を繰り返し行う状況において各回の結果が独立同一分布（i.d.d.）にしたがう場合、試行回数を限りなく増やすと、標本平均の確率分布は正規分布へ限りなく近づきます（中心極限定理）。
連続型の一様分布
連続型の確率変数の確率分布を記述する確率密度関数が定数関数である場合、その確率変数は連続型の一様分布にしたがうと言います。連続型一様分布にしたがう確率変数を定義するとともに、その期待値と分散を求めます。
離散型の一様分布
離散型の確率変数がすべての値を等しい確率でとる場合、そのような確率変数は離散型の一様分布にしたがうと言います。離散型一様分布にしたがう確率変数を定義するとともに、その期待値と分散を求めます。
独立同一分布（i.i.d.）にしたがう離散型の確率変数列
離散型の確率変数列が独立であるとともに同一分布にしたがう場合、その確率変数列は独立同一分布にしたがう（i.d.d.）と言います。
独立同一分布（i.i.d.）にしたがう有限個の離散型確率変数
有限個（3個以上）の離散型確率変数が独立であるとともに同一分布にしたがう場合、それらの確率変数は独立同一分布にしたがう（i.d.d.）と言います。
固有値の固有空間とその次元
正方行列の固有値に対応するすべての列固有ベクトルとゼロベクトルからなるベクトル集合を、その固有値の固有空間と呼びます。固有空間は実ベクトル空間の部分空間であるとともに、その次元は固有値の重複度以下になります。
固有多項式（特性多項式）を用いた固有値の特定方法
正方行列の固有値が明らかになれば、固有値に対応する列固有ベクトルを特定できます。また、固有値は固有多項式と呼ばれる多項式関数の根と一致するため、固有値を特定する作業を多項式関数の根を特定する作業へ帰着させることができます。
正方行列の固有値と固有ベクトルの定義
正方行列に関する固有値問題と呼ばれる問題を定義するとともに、その解に相当する固有値および固有ベクトルを定義します。固有値と固有ベクトルは正方行列の対角化と深い関係があります。
正方行列の対角化可能性とその利点
正方行列が何らかの対角行列と相似である場合、その正方行列は対角化可能であると言います。正方行列を対角化することにより、よりシンプルな構造を持つ行列が得られます。
相似な線形変換と相似な正方行列
同一の線形変換を異なる基底のもとで表現した場合、両者は相似であると言います。2つの線形変換が相似であることは、それらを特徴づける正方行列が相似であることを意味します。
実ベクトル空間におけるベクトルの座標
実ベクトル空間における基底が与えられれば、それぞれのベクトルは基底ベクトルの線型結合として一意的に表されます。そこで、ベクトルの線型結合を特徴づけるスカラーの組をそのベクトルの座標と呼びます。
複数の線型不等式制約条件のもとでの多変数関数の最大化問題
多変数関数の変数がとり得る値の範囲が複数の線型不等式によって制限されている場合に、関数の最大点が満たす条件（クーン・タッカー条件）を特定するとともに、最大点を具体的に導出する方法（ラグランジュの未定乗数法）について解説します。
連立1次方程式の加減法と行基本操作の関係
初等数学では連立1次方程式の解法として加減法を学びました。加減法は連立1次方程式の拡大係数行列に対して行う行簡約と操作として一致します。以上の観点のもと、加減法が連立1次方程式の解法として有効であることの根拠を説明します。
行簡約を用いた正則行列の判定と逆行列の導出
正方行列の行標準形が単位行列であることは、その行列が正則であるための必要十分条件です。行標準形を導出するための行簡約をそのまま単位行列に適用すれば逆行列が得られます。
行基本行列
単位行列に対して行基本操作の中の1つを適用することに得られる行列を行基本行列と呼びます。行列に対して行基本操作を適用することは、基本行列とその行列の行列積をとることと操作として一致します。
行列の列基本操作（列同値な行列）
行列の2つの列を入れ替える、特定の列に非ゼロのスカラーを掛ける、ある列に別の列のスカラー倍を加える、などの操作を総称して列基本操作と呼びます。
有理数のデデキント切断
数直線上には有理数が細かく密集して分布しているものの、有理数の間は隙間だらけであり、無理数がその隙間を埋めています。以上の主張を集合を用いて厳密に表現するためにデデキント切断と呼ばれる概念を導入します。
実ベクトル空間上の線形写像が全単射であることの判定
定義域と終集合が一致する線形写像だけが全単射になり得ることを示すとともに、線形写像が全単射であることを判定する方法について解説します。
実行列空間の定義
実数を成分とする行列からなる集合上に行列加法とスカラー乗法と呼ばれている演算が定義されている場合、そのような集合を実行列空間と呼びます。実行列空間はベクトル空間です。
線形写像空間の定義
定義域と終集合を共有する線形写像からなる集合上に加法とスカラー乗法と呼ばれる演算が定義されている場合、そのような集合を線形写像空間と呼びます。線形写像空間はベクトル空間です。
実ベクトル空間の定義
実数を成分とするベクトルからなる集合上にベクトル加法とスカラー乗法と呼ばれている演算が定義されている場合、そのような集合を実ベクトル空間と呼びます。実ベクトル空間はベクトル空間です。
線形写像のスカラー乗法（線形写像のスカラー倍）
線形写像が定めるベクトルのスカラー倍を像として定める写像を定義すると、それもまた線形写像になります。線形写像のスカラー乗法は行列のスカラー乗法と実質的に等しい演算です。
線形写像の加法（線形写像の和）
定義域と終集合を共有する2つの線形写像が与えられたとき、それらが定めるベクトルどうしの和を像として定める写像を定義すると、それもまた線形写像になります。線形写像の加法は行列加法と実質的に等しい演算です。
実ベクトル空間上の線形写像が単射であることの判定
写像が線形写像である場合には、それが単射であることを様々な形で表現できます。線形写像が単射であることを判定する方法について解説します。
実ベクトル空間上の線形写像が全射であることの判定
写像が線形写像である場合には、それが全射であることを様々な形で表現できます。線形写像が全射であることを判定する方法について解説します。
実ベクトル空間のアフィン部分空間の定義と具体例
実ベクトル空間の部分空間上に存在するすべての点を同一方向に同一量だけ動かすことで得られる点からなる集合をアフィン部分空間と呼びます。アフィン部分空間は部分空間であるとは限りません。
