確認テスト II（関数の微分）

関数\(f:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} _{+}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\sqrt{x}
\end{equation*}を定めるものとします。以下の問いに答えてください（各5点）。

1. \(f\)の導関数\(f^{\prime }\)を求めてください。
2. \(f\)を点\(100\in \mathbb{R} _{+}\)において微分した上で、点\(100\)の周辺の点\(x\)における値\(f\left( x\right) \)の線型近似式を求めてください。
3. 以上の結果を踏まえた上で、\(\sqrt{101}\)の近似値を求めてください。

放物線\begin{equation*}
y=1-x^{2}
\end{equation*}の下に、底辺が\(x\)軸上にある長方形が配置されているものとします。ただし、長方形の上の2頂点は放物線上にあるものとします。以下の問いに答えてください（各5点）。

1. 長方形の右上の頂点を\(\left( x,1-x^{2}\right) \)で表記します。ただし、\(x>0\)です。長方形の面積を\(x\)に関する関数\(A\left( x\right) \)として表現してください。
2. \(A\left( x\right) \)を最大にする\(x\)を求めてください。
3. 面積が最大化された長方形の底辺の長さと高さを求めてください。

関数\(f:\mathbb{R} \supset \left( -1,+\infty \right) \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \left( -1,+\infty\right) \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\ln \left( 1+x\right)
\end{equation*}を定めるものとします。以下の問いに答えてください（各5点）。

1. \(f\)を点\(x=0\)において微分した上で、点\(0\)の周辺の点\(x\)における値\(f\left(x\right) \)の線型近似式を求めてください。
2. 先の結果を踏まえた上で、以下の値\begin{equation*}\ln \left( 1.01\right)
   \end{equation*}の近似値を求めてください。
3. 先の結果を踏まえた上で、以下の値\begin{equation*}\ln \left( 1.01^{100}\right)
   \end{equation*}の近似値を求めてください。
4. 銀行に100万円を年利1パーセントで100年間預けると、複利計算で資産は、\begin{equation*}100\left( 1.01\right) ^{100}
   \end{equation*}万円になります。先の結果を踏まえた上で、この値を近似してください。ただし、\begin{equation*}
   e\approx 2.718
   \end{equation*}として計算してください。
5. 利率\(r\)を\(n\)回に分けて複利計算すると、資産は、\begin{equation*}\left( 1+\frac{r}{n}\right) ^{n}\end{equation*}倍になります。先の結果を踏まえた上で、この値を近似してください。

半径が\(r>0\)であり、高さが\(h>0\)であるような円柱形の缶を設計する状況を想定します。以下の問いに答えてください（各5点）。

1. 缶の体積\(V\)を定式化してください。
2. 缶の表面積\(S\)を定式化してください。
3. 体積\(V\)を一定とした上で、表面積\(S\)を半径\(r\)を変数とする関数\(S\left(r\right) \)として表現してください。
4. 体積\(V\)を一定とした場合に、関数\(S\left( r\right) \)を最小化する半径\(r\)が満たすべき条件を明らかにしてください。
5. 以上の結果を踏まえた上で、体積を一定とした場合に、表面積が最小になる缶の形を求めてください。

平面上の\(x\)軸（直線\(y=0\)）を鏡とみなします。平面上の2つの点\begin{eqnarray*}A &=&\left( a_{1},a_{2}\right) \\
B &=&\left( b_{1},b_{2}\right)
\end{eqnarray*}が与えられているものとします。ただし、\(a_{2}>0\)かつ\(b_{2}>0\)です。また、鏡上の点を、\begin{equation*}P=\left( x,0\right)
\end{equation*}で表記します。以下の問いに答えてください。

1. 経路\(A\rightarrow P\rightarrow B\)の長さの和を\(x\)に関する関数\(S\left( x\right) \)として表現してください。
2. \(AP\)の入射角の余弦と\(PB\)の反射角の余弦をそれぞれ定式化してください。
3. \(S\left( x\right) \)を最小化する\(x\)が満たすべき条件を明らかにしてください。
4. \(S\left( x\right) \)を最小化する\(x\)のもとでは、\(AP\)の入射角の余弦と\(PB\)の反射角の余弦が一致することを示してください。