双曲線余弦関数（cosh関数）の微分

関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\cosh \left( x\right)
\end{equation*}を定めるものとする。点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\(f\)は点\(a\)において微分可能であるとともに、\begin{equation*}f^{\prime }\left( a\right) =\sinh \left( a\right)
\end{equation*}が成り立つ。したがって導関数\(f^{\prime }:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)が存在して、それぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f^{\prime }\left( x\right) =\sinh \left( x\right)
\end{equation*}を定める。

関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =x^{2}\cosh \left( x\right)
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は微分可能であり、導関数\(f^{\prime }:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{eqnarray*}f^{\prime }\left( x\right) &=&\frac{d}{dx}\left[ x^{2}\cosh \left( x\right) \right] \quad \because f\text{の定義} \\
&=&\left( \frac{d}{dx}x^{2}\right) \cdot \cosh \left( x\right) +x^{2}\cdot
\frac{d}{dx}\cosh \left( x\right) \quad \because \text{積の微分法則} \\
&=&2x\cosh \left( x\right) +x^{2}\sinh \left( x\right)
\end{eqnarray*}を定めます。

関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\frac{\cosh \left( x\right) }{x^{2}+1}
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は微分可能であり、導関数\(f^{\prime }:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{eqnarray*}f^{\prime }\left( x\right) &=&\frac{d}{dx}\left[ \frac{\cosh \left(
x\right) }{x^{2}+1}\right] \quad \because f\text{の定義} \\
&=&\frac{\left[ \frac{d}{dx}\cosh \left( x\right) \right] \cdot \left(
x^{2}+1\right) -\cosh \left( x\right) \cdot \frac{d}{dx}\left(
x^{2}+1\right) }{\left( x^{2}+1\right) ^{2}}\quad \because \text{商の微分法則} \\
&=&\frac{\sinh \left( x\right) \cdot \left( x^{2}+1\right) -\cosh \left(
x\right) \cdot 2x}{\left( x^{2}+1\right) ^{2}} \\
&=&\frac{x^{2}\sinh \left( x\right) +\sinh \left( x\right) -2x\sinh \left(
x\right) }{\left( x^{2}+1\right) ^{2}}
\end{eqnarray*}を定めます。

関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\cosh \left( x^{3}-3\right)
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は微分可能であり、導関数\(f^{\prime }:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{eqnarray*}f^{\prime }\left( x\right) &=&\frac{d}{dx}\cosh \left( x^{3}-3\right) \quad
\because f\text{の定義} \\
&=&\left. \frac{d}{dy}\cosh \left( y\right) \right\vert _{y=x^{3}-3}\cdot
\frac{d}{dx}\left( x^{3}-3\right) \quad \because \text{合成関数の微分} \\
&=&\left. \sinh \left( y\right) \right\vert _{y=x^{3}-3}\cdot 3x^{2} \\
&=&3x^{2}\sinh \left( x^{3}-3\right)
\end{eqnarray*}を定めます。

関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\cosh \left( \frac{1}{x^{2}+1}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は微分可能であり、導関数\(f^{\prime }:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{eqnarray*}f^{\prime }\left( x\right) &=&\frac{d}{dx}\cosh \left( \frac{1}{x^{2}+1}\right) \quad \because f\text{の定義} \\
&=&\left. \frac{d}{dy}\cosh \left( y\right) \right\vert _{y=\frac{1}{x^{2}+1}}\cdot \frac{d}{dx}\frac{1}{x^{2}+1}\quad \because \text{合成関数の微分} \\
&=&\left. \sinh \left( y\right) \right\vert _{y=\frac{1}{x^{2}+1}}\cdot
\frac{\left( \frac{d}{dx}1\right) \cdot \left( x^{2}+1\right) -1\cdot \frac{d}{dx}\left( x^{2}+1\right) }{\left( x^{2}+1\right) ^{2}} \\
&=&-\frac{2x}{\left( x^{2}+1\right) ^{2}}\sinh \left( \frac{1}{x^{2}+1}\right)
\end{eqnarray*}を定めます。

関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\cosh \left( e^{x}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は微分可能であり、導関数\(f^{\prime }:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{eqnarray*}f^{\prime }\left( x\right) &=&\frac{d}{dx}\cosh \left( e^{x}\right) \quad
\because f\text{の定義} \\
&=&\left. \frac{d}{dy}\cosh \left( y\right) \right\vert _{y=e^{x}}\cdot
\frac{d}{dx}e^{x}\quad \because \text{合成関数の微分} \\
&=&\left. \sinh \left( y\right) \right\vert _{y=e^{x}}\cdot e^{x} \\
&=&e^{x}\sinh \left( e^{x}\right)
\end{eqnarray*}を定めます。

関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\cosh \left( x\right)
\end{equation*}を定めるものとする。以下が成り立つ。

1. 点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\(f\)は点\(a\)において右側微分可能であるとともに、\begin{equation*}f^{\prime }\left( a+0\right) =\sinh \left( a\right) \end{equation*}が成り立つ。したがって、右側導関数\(f_{+}^{\prime }:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)が存在して、それぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f_{+}^{\prime }\left( x\right) =\sinh \left( x\right)
   \end{equation*}を定める。
2. 点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\(f\)は点\(a\)において左側微分可能であるとともに、\begin{equation*}f^{\prime }\left( a-0\right) =\sinh \left( a\right) \end{equation*}が成り立つ。したがって、左側導関数\(f_{-}^{\prime }:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)が存在して、それぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f_{-}^{\prime }\left( x\right) =\sinh \left( x\right)
   \end{equation*}を定める。

位置\(x\geq 0\)におけるケーブルの地面からの高さが、\begin{equation*}y\left( x\right) =10\cosh \left( \frac{x}{10}\right)
\end{equation*}であるものとします。位置\(x=0\)におけるケーブルの高さの変化率は、\begin{eqnarray*}y_{+}^{\prime }\left( 0\right) &=&\left. \frac{d^{+}}{dx}y\left( x\right)
\right\vert _{x=0} \\
&=&\left. \frac{d^{+}}{dx}10\cosh \left( \frac{x}{10}\right) \right\vert
_{x=0} \\
&=&\left. \frac{d}{dx}10\cosh \left( \frac{x}{10}\right) \right\vert _{x=0}
\\
&=&\left. 10\cdot \frac{d}{dx}\cosh \left( \frac{x}{10}\right) \right\vert
_{x=0} \\
&=&\left. \left[ 10\cdot \left. \frac{d}{dy}\cosh \left( y\right)
\right\vert _{y=\frac{x}{10}}\cdot \frac{d}{dx}\left( \frac{x}{10}\right) \right] \right\vert _{x=0} \\
&=&\left. \left[ 10\cdot \sinh \left( \frac{x}{10}\right) \cdot \frac{1}{10}\right] \right\vert _{x=0} \\
&=&\sinh \left( 0\right) \\
&=&0
\end{eqnarray*}ですが、以上の事実は、位置\(x=0\)においてケーブルが水平になっていることを意味します。

関数\(f:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} _{+}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\sqrt{x}\cosh \left( x\right)
\end{equation*}を定めるものとします。導関数を求めてください。

関数\(f:\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\frac{1}{\cosh \left( x\right) }
\end{equation*}を定めるものとします。導関数を求めてください。

関数\(f:\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\frac{x^{2}+x}{\cosh \left( x\right) }
\end{equation*}を定めるものとします。導関数を求めてください。

関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\cosh \left( x^{2}+3\right)
\end{equation*}を定めるものとします。導関数を求めてください。

関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\cosh ^{3}\left( 2x\right)
\end{equation*}を定めるものとします。導関数を求めてください。

関数\(f:\mathbb{R} _{+}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} _{+}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\cosh ^{2}\left( \sqrt{x}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。導関数を求めてください。

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\sqrt{1-\cosh ^{2}\left( x\right) }
\end{equation*}を定めるものとします。ただし、\begin{equation*}
X=\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ 1-\cosh ^{2}\left( x\right) \geq 0\right\}
\end{equation*}です。導関数を求めてください。

関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =e^{\cosh \left( x\right) }
\end{equation*}を定めるものとします。導関数を求めてください。

関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =3\cosh ^{3}\left( 2x^{4}+1\right)
\end{equation*}を定めるものとします。導関数を求めてください。

関数\(f:\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\frac{2\cosh \left( 3x\right) }{x}
\end{equation*}を定めるものとします。導関数を求めてください。

関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\cosh \left( x\right)
\end{equation*}を定めるものとします。以下の問いに答えてください。

1. \(x=0\)における\(f\left( x\right) \)の1次の線型近似式を求めてください。
2. 問1の結果を踏まえた上で、以下の値\begin{equation*}\cosh \left( 0.05\right)
   \end{equation*}の近似値を求めてください。