双曲線正接関数（tanh関数）の微分

関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\tanh \left( x\right)
\end{equation*}を定めるものとする。点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\(f\)は点\(a\)において微分可能であるとともに、\begin{equation*}f^{\prime }\left( a\right) =\frac{1}{\cosh ^{2}\left( a\right) }
\end{equation*}が成り立つ。したがって導関数\(f^{\prime }:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)が存在して、それぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f^{\prime }\left( x\right) =\frac{1}{\cosh ^{2}\left( x\right) }
\end{equation*}を定める。

関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =x^{3}\tanh \left( x\right)
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は微分可能であり、導関数\(f^{\prime }:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{eqnarray*}f^{\prime }\left( x\right) &=&\frac{d}{dx}\left[ x^{3}\tanh \left( x\right) \right] \quad \because f\text{の定義} \\
&=&\left( \frac{d}{dx}x^{3}\right) \cdot \tanh \left( x\right) +x^{3}\cdot
\frac{d}{dx}\tanh \left( x\right) \quad \because \text{積の微分法則} \\
&=&3x^{2}\tanh \left( x\right) +\frac{x^{3}}{\cosh ^{2}\left( x\right) }
\end{eqnarray*}を定めます。

関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\tanh \left( 3x^{2}+2x+1\right)
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は微分可能であり、導関数\(f^{\prime }:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{eqnarray*}f^{\prime }\left( x\right) &=&\frac{d}{dx}\tanh \left( 3x^{2}+2x+1\right)
\quad \because f\text{の定義} \\
&=&\left. \frac{d}{dy}\tanh \left( y\right) \right\vert
_{y=3x^{2}+2x+1}\cdot \frac{d}{dx}\left( 3x^{2}+2x+1\right) \quad \because
\text{合成関数の微分} \\
&=&\left. \frac{1}{\cosh ^{2}\left( y\right) }\right\vert
_{y=3x^{2}+2x+1}\cdot \left( 6x+2\right) \\
&=&\frac{6x+2}{\cosh ^{2}\left( 3x^{2}+2x+1\right) }
\end{eqnarray*}を定めます。

関数\(f:\mathbb{R} \backslash \left\{ 1\right\} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 1\right\} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\tanh \left( \frac{x^{2}-1}{x-1}\right)
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は微分可能であり、導関数\(f^{\prime }:\mathbb{R} \backslash \left\{ 1\right\} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 1\right\} \)に対して、\begin{eqnarray*}f^{\prime }\left( x\right) &=&\frac{d}{dx}\tanh \left( \frac{x^{2}-1}{x-1}\right) \quad \because f\text{の定義} \\
&=&\left. \frac{d}{dy}\tanh \left( y\right) \right\vert _{y=\frac{x^{2}-1}{x-1}}\cdot \frac{d}{dx}\left( \frac{x^{2}-1}{x-1}\right) \quad \because
\text{合成関数の微分} \\
&=&\left. \frac{1}{\cosh ^{2}\left( y\right) }\right\vert _{y=\frac{x^{2}-1}{x-1}}\cdot \frac{2x\left( x-1\right) -\left( x^{2}-1\right) }{\left(
x-1\right) ^{2}} \\
&=&\frac{1}{\cosh ^{2}\left( \frac{x^{2}-1}{x-1}\right) }\cdot 1 \\
&=&\frac{1}{\cosh ^{2}\left( \frac{x^{2}-1}{x-1}\right) }
\end{eqnarray*}を定めます。

ある装置への入力値が\(x\geq 0\)である場合の出力値が、\begin{equation*}f\left( x\right) =5\tanh \left( x\right) +3
\end{equation*}であるものとします。\(f\)は微分可能であり、その導関数\(f^{\prime }\)はそれぞれの\(x>0\)に対して、\begin{eqnarray*}f^{\prime }\left( x\right) &=&\frac{d}{dx}\left[ 5\tanh \left( x\right) +3\right] \\
&=&5\cdot \frac{d}{dx}\tanh \left( x\right) \\
&=&\frac{5}{\cosh ^{2}\left( x\right) }
\end{eqnarray*}を定めます。つまり、入力値が\(x>0\)である場合、さらにそこから入力値を増やした場合の出力値の感度が\(\frac{5}{\cosh ^{2}\left( x\right) }\)であるということです。\(\cosh \left( x\right) \)は\(x>0\)において狭義単調増加であるため、\(\frac{5}{\cosh ^{2}\left( x\right) }\)すなわち\(f^{\prime}\left( x\right) \)は狭義単調減少です。以上の事実は、入力値\(x\)を高いほど、そこから\(x\)をさらに増やした場合の出力値の感度が鈍化していくことを意味します。さらに、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow +\infty }\cosh \left( x\right) =+\infty
\end{equation*}であるため、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow +\infty }\frac{5}{\cosh ^{2}\left( x\right) }=0
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow +\infty }f^{\prime }\left( x\right) =0
\end{equation*}を得ます。つまり、最終的に感度はゼロになります。

関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\tanh \left( x\right)
\end{equation*}を定めるものとする。以下が成り立つ。

1. 点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\(f\)は点\(a\)において右側微分可能であるとともに、\begin{equation*}f^{\prime }\left( a+0\right) =\frac{1}{\cosh ^{2}\left( a\right) }\end{equation*}が成り立つ。したがって右側導関数\(f_{+}^{\prime }:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)が存在して、それぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f_{+}^{\prime }\left( x\right) =\frac{1}{\cosh ^{2}\left( x\right) }
   \end{equation*}を定める。
2. 点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\(f\)は点\(a\)において左側微分可能であるとともに、\begin{equation*}f^{\prime }\left( a-0\right) =\frac{1}{\cosh ^{2}\left( a\right) }\end{equation*}が成り立つ。したがって左側導関数\(f_{-}^{\prime }:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)が存在して、それぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f_{-}^{\prime }\left( x\right) =\frac{1}{\cosh ^{2}\left( x\right) }
   \end{equation*}を定める。

ある装置への入力値が\(x\geq 0\)である場合の出力値が、\begin{equation*}f\left( x\right) =5\tanh \left( x\right) +3
\end{equation*}であるものとします。入力値が\(x=0\)である場合の出力値の感度は、\begin{eqnarray*}f_{+}^{\prime }\left( 0\right) &=&\left. \frac{d^{+}}{dx}f\left( x\right)
\right\vert _{x=0} \\
&=&\left. \frac{d^{+}}{dx}\left[ 5\tanh \left( x\right) +3\right] \right\vert _{x=0} \\
&=&\left. \frac{d}{dx}\left[ 5\tanh \left( x\right) +3\right] \right\vert
_{x=0} \\
&=&\left. \frac{5}{\cosh ^{2}\left( x\right) }\right\vert _{x=0} \\
&=&\frac{5}{\cosh ^{2}\left( 0\right) } \\
&=&5
\end{eqnarray*}です。

関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\tanh \left( 3x\right)
\end{equation*}を定めるものとします。導関数を求めてください。

関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\tanh ^{2}\left( x\right)
\end{equation*}を定めるものとします。導関数を求めてください。

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\sqrt{x\tanh \left( x\right) }
\end{equation*}を定めるものとします。定義域\(X\)を特定した上で、\(f\)の導関数を求めてください。

関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\cosh ^{3}\left( \tanh \left( 3x\right) \right)
\end{equation*}を定めるものとします。導関数を求めてください。

関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\tanh \left( x\right)
\end{equation*}を定めるものとします。以下の問いに答えてください。

1. \(x=0\)における\(f\left( x\right) \)の1次の線型近似式を求めてください。
2. 問1の結果を踏まえた上で、以下の値\begin{equation*}\tanh \left( 0.05\right)
   \end{equation*}の近似値を求めてください。