微分可能な関数の商
定義域を共有する2つの関数\begin{eqnarray*}
f &:&\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \\
g &:&\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\}
\end{eqnarray*}が与えられた状況を想定します。ただし、\(g\)は値として非ゼロをとる関数です。この場合、それぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}\left( \frac{f}{g}\right) \left( x\right) =\frac{f\left( x\right) }{g\left(
x\right) }
\end{equation*}を値として定める新たな関数\begin{equation*}
\frac{f}{g}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が定義可能です。
関数\(f,g\)の定義域の内点\(a\in X^{i}\)を任意に選んだとき、\(f,g\)がともに点\(a\)において微分可能であるならば、\(\frac{f}{g}\)もまた点\(a\)において微分可能であることが保証されるとともに、これらの関数の微分係数の間には以下の関係\begin{equation*}\left( \frac{f}{g}\right) ^{\prime }\left( a\right) =\frac{f^{\prime }\left(
a\right) \cdot g\left( a\right) -f\left( a\right) \cdot g^{\prime }\left(
a\right) }{\left[ g\left( a\right) \right] ^{2}}
\end{equation*}が成立します。
したがって、何らかの関数\(f,g\)の商の形をしている関数\(\frac{f}{g}\)の微分可能性を検討する際には、微分の定義にさかのぼって考える前に、まずは\(f\)と\(g\)に分けた上で、それらがそれぞれ微分可能であることを確認すればよいということになります。
a\right) \cdot g\left( a\right) -f\left( a\right) \cdot g^{\prime }\left(
a\right) }{\left[ g\left( a\right) \right] ^{2}}
\end{equation*}を満たす。
x\right) \cdot g\left( x\right) -f\left( x\right) \cdot g^{\prime }\left(
x\right) }{\left[ g\left( x\right) \right] ^{2}}
\end{equation*}を定めます。
\end{equation*}を値として定める関数\begin{equation*}
\frac{1}{f}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}を定義します。\(f\)が定義域\(X\)上で微分可能ならば、先の命題より関数\(\frac{1}{f}\)もまた定義域\(X\)上で微分可能であり、導関数\(\left( \frac{1}{f}\right) ^{\prime }:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{eqnarray*}\left( \frac{1}{f}\right) ^{\prime }\left( x\right) &=&\frac{\left( \frac{d}{dx}1\right) \cdot g\left( x\right) -1\cdot \frac{d}{dx}f\left( x\right) }{\left[ f\left( x\right) \right] ^{2}} \\
&=&\frac{0\cdot g\left( x\right) -f(\left( x\right) }{\left[ f\left(
x\right) \right] ^{2}} \\
&=&-\frac{f\left( x\right) }{\left[ f\left( x\right) \right] ^{2}}
\end{eqnarray*}を定めます。
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)を構成する分子の関数\(2x-1\)と分母の関数\(x^{2}+1\)はともに微分可能であるため\(f\)もまた微分可能であり、導関数\(f^{\prime }:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{eqnarray*}f^{\prime }\left( x\right) &=&\frac{d}{dx}\left( \frac{2x-1}{x^{2}+1}\right) \quad \because f\text{の定義} \\
&=&\frac{\left[ \frac{d}{dx}\left( 2x-1\right) \right] \cdot \left(
x^{2}+1\right) -\left( 2x-1\right) \cdot \frac{d}{dx}\left( x^{2}+1\right) }{\left( x^{2}+1\right) ^{2}}\quad \because \text{商の法則} \\
&=&\frac{\left( 2\cdot \frac{d}{dx}x-\frac{d}{dx}1\right) \cdot \left(
x^{2}+1\right) -\left( 2x-1\right) \cdot \left( \frac{d}{dx}x^{2}-\frac{d}{dx}1\right) }{\left( x^{2}+1\right) ^{2}}\quad \because \text{定数倍・和・差の法則} \\
&=&\frac{\left( 2\cdot 1-0\right) \cdot \left( x^{2}+1\right) -\left(
2x-1\right) \cdot \left( 2x-0\right) }{\left( x^{2}+1\right) ^{2}} \\
&=&\frac{2\left( x^{2}+1\right) -\left( 2x-1\right) 2x}{\left(
x^{2}+1\right) ^{2}} \\
&=&\frac{2\left( -x^{2}+x+1\right) }{\left( x^{2}+1\right) ^{2}}
\end{eqnarray*}を定めます。
片側微分可能な関数の商
片側微分に関しても同様の命題が成り立ちます。具体的には以下の通りです。
関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)および\(g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)が与えられたとき、そこから関数\(\frac{f}{g}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)を定義します。
右側微分をとるために、以下の条件\begin{equation*}
\exists \varepsilon >0:\left[ a,a+\varepsilon \right] \subset X
\end{equation*}を満たす定義域上の点\(a\in X\)を選びます。関数\(f,g\)がともに点\(a\)において右側微分可能ならば、関数\(\frac{f}{g}\)もまた点\(a\)において右側微分可能であることが保証されるとともに、これらの関数の右側微分係数の間には以下の関係\begin{equation*}\left( \frac{f}{g}\right) ^{\prime }\left( a+0\right) =\frac{f^{\prime
}\left( a+0\right) \cdot g\left( a\right) -f\left( a\right) \cdot g^{\prime
}\left( a+0\right) }{\left[ g\left( a\right) \right] ^{2}}
\end{equation*}が成立します。
左側微分をとるために、以下の条件\begin{equation*}
\exists \varepsilon >0:\left[ a-\varepsilon ,a\right] \subset X
\end{equation*}を満たす定義域上の点\(a\in X\)を選びます。関数\(f,g\)がともに点\(a\)において左側微分可能ならば、関数\(\frac{f}{g}\)もまた点\(a\)において左側微分可能であることが保証されるとともに、これらの関数の左側微分係数の間には以下の関係\begin{equation*}\left( \frac{f}{g}\right) ^{\prime }\left( a-0\right) =\frac{f^{\prime
}\left( a-0\right) \cdot g\left( a\right) -f\left( a\right) \cdot g^{\prime
}\left( a-0\right) }{\left[ g\left( a\right) \right] ^{2}}
\end{equation*}が成立します。
- 点\(a\in X\)に対して、\begin{equation*}\exists \varepsilon >0:\left[ a,a+\varepsilon \right] \subset X\end{equation*}が成り立つものとする。関数\(f,g\)がともに点\(a\)において右側微分可能であるならば、関数\(\frac{f}{g}\)もまた点\(a\)において右側微分可能であり、そこでの右側微分係数は、\begin{equation*}\left( \frac{f}{g}\right) ^{\prime }\left( a+0\right) =\frac{f^{\prime
}\left( a+0\right) \cdot g\left( a\right) -f\left( a\right) \cdot g^{\prime
}\left( a+0\right) }{\left[ g\left( a\right) \right] ^{2}}
\end{equation*}を満たす。 - 点\(a\in X\)に対して、\begin{equation*}\exists \varepsilon >0:\left[ a-\varepsilon ,a\right] \subset X\end{equation*}が成り立つものとする。関数\(f,g\)がともに点\(a\)において左側微分可能であるならば、関数\(\frac{f}{g}\)もまた点\(a\)において左側微分可能であり、そこでの左側微分係数は、\begin{equation*}\left( \frac{f}{g}\right) ^{\prime }\left( a-0\right) =\frac{f^{\prime
}\left( a-0\right) \cdot g\left( a\right) -f\left( a\right) \cdot g^{\prime
}\left( a-0\right) }{\left[ g\left( a\right) \right] ^{2}}
\end{equation*}を満たす。
}\left( x\right) \cdot g\left( x\right) -f\left( x\right) \cdot
g_{+}^{\prime }\left( x\right) }{\left[ g\left( x\right) \right] ^{2}}
\end{equation*}を定めます。また、\(f,g\)がともに定義域\(X\)上で左側微分可能であるならば、先の命題より\(\frac{f}{g}\)もまた\(X\)上で左側微分可能であり、左側導関数\(\left( \frac{f}{g}\right)_{-}^{\prime }:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}\left( \frac{f}{g}\right) _{-}^{\prime }\left( x\right) =\frac{f_{-}^{\prime
}\left( x\right) \cdot g\left( x\right) -f\left( x\right) \cdot
g_{-}^{\prime }\left( x\right) }{\left[ g\left( x\right) \right] ^{2}}
\end{equation*}を定めます。
\begin{array}{cc}
x & \left( if\ x\leq 0\right) \\
\frac{x^{2}-1}{x} & \left( if\ x>0\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。\(a<0\)を満たす点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選ぶと、点\(a\)の周辺の任意の\(x\)において\(f\left( x\right) =x\)であるため、そこでの微分係数は、\begin{eqnarray*}f^{\prime }\left( a\right) &=&\left. \frac{d}{dx}x\right\vert _{x=a} \\
&=&\left. 1\right\vert _{x=a} \\
&=&1
\end{eqnarray*}となります。点\(0\)以下の周辺の任意の\(x\)において\(f\left( x\right) =x\)であるため、そこでの左側微分係数は、\begin{eqnarray*}f^{\prime }\left( 0-0\right) &=&\left. \frac{d^{-}}{dx}x\right\vert _{x=0}
\\
&=&\left. 1\right\vert _{x=0} \\
&=&1
\end{eqnarray*}となります。点\(0\)以上の周辺の\(x\)については、\(x\)の値によって\(f\left( x\right) \)の形状が変わるため、定義に戻って右側微分係数を求めると、\begin{eqnarray*}f^{\prime }\left( 0+0\right) &=&\lim_{h\rightarrow 0+}\frac{f\left(
0+h\right) -f\left( 0\right) }{h} \\
&=&\lim_{h\rightarrow 0+}\frac{\frac{h^{2}-1}{h}-0}{h}\quad \because h>0 \\
&=&\lim_{h\rightarrow 0+}\frac{h^{2}-1}{h^{2}} \\
&=&\lim_{h\rightarrow 0+}\left( 1-\frac{1}{h^{2}}\right) \\
&=&-\infty
\end{eqnarray*}となるため、\(f\)は点\(0\)において右側微分可能ではなく、したがって微分可能でもありません。\(a>0\)を満たす点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選ぶと、その周辺の任意の\(x\)において\(f\left( x\right) =\frac{x^{2}-1}{x}\)であるため、そこでの微分係数は、\begin{eqnarray*}f^{\prime }\left( a\right) &=&\left. \frac{d}{dx}\left( \frac{x^{2}-1}{x}\right) \right\vert _{x=a} \\
&=&\left. \frac{\left[ \frac{d}{dx}\left( x^{2}-1\right) \right] \cdot
x-\left( x^{2}-1\right) \cdot \frac{d}{dx}x}{x^{2}}\right\vert _{x=a}\quad
\because \text{商の法則} \\
&=&\left. \frac{\left( 2x-0\right) \cdot x-\left( x^{2}-1\right) \cdot 1}{x^{2}}\right\vert _{x=a} \\
&=&\left. \frac{x^{2}+1}{x^{2}}\right\vert _{x=a} \\
&=&\frac{a^{2}+1}{a^{2}}
\end{eqnarray*}となります。したがって、\(f\)の導関数\(f^{\prime }\)の定義域は\(\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)であり、これはそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
1 & \left( if\ x<0\right) \\
\frac{x^{2}+1}{x^{2}} & \left( if\ x>0\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めることが明らかになりました。
演習問題
\end{equation*}を定めるものとします。導関数\(f^{\prime }\)を求めてください。
\end{equation*}を定めるものとします。導関数\(f^{\prime }\)を求めてください。
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