一般の指数関数の微分

関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して定める値が、\(a>0\)かつ\(a\not=1\)を満たす\(a\in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation*}f\left( x\right) =a^{x}
\end{equation*}と表されるものとする。点\(b\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\(f\)は点\(b\)において微分可能であるとともに、\begin{equation*}f^{\prime }\left( b\right) =a^{b}\cdot \ln \left( a\right)
\end{equation*}が成り立つ。したがって、導関数\(f^{\prime }:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)が存在して、それぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f^{\prime }\left( x\right) =a^{x}\cdot \ln \left( a\right)
\end{equation*}を定める。

関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =e^{x}
\end{equation*}を定めるものとします。自然指数関数は微分可能であり、導関数\(f^{\prime }:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f^{\prime }\left( x\right) =e^{x}
\end{equation*}を定めますが、同じことを先の命題を用いて示します。具体的には、先の命題より、導関数\(f^{\prime }:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{eqnarray*}f^{\prime }\left( x\right) &=&e^{x}\cdot \ln \left( e\right) \\
&=&e^{x}\cdot 1 \\
&=&e^{x}
\end{eqnarray*}を定めます。先と同じ結果が導かれました。

関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =x^{2}\left( \frac{1}{2}\right) ^{x}
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は多項式関数\(x^{2}\)と指数関数\(\left( \frac{1}{2}\right) ^{x}\)の積として定義されているため微分可能であり、導関数\(f^{\prime }:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{eqnarray*}f^{\prime }\left( x\right) &=&\frac{d}{dx}x^{2}\left( \frac{1}{2}\right)
^{x}\quad \because f\text{の定義} \\
&=&\left( \frac{d}{dx}x^{2}\right) \cdot \left( \frac{1}{2}\right)
^{x}+x^{2}\cdot \frac{d}{dx}\left( \frac{1}{2}\right) ^{x}\quad \because
\text{積の微分法則} \\
&=&2x\cdot \left( \frac{1}{2}\right) ^{x}+x^{2}\cdot \left( \frac{1}{2}\right) ^{x}\ln \left( \frac{1}{2}\right) \\
&=&2x\left( \frac{1}{2}\right) ^{x}-x^{2}\left( \frac{1}{2}\right) ^{x}\ln
\left( 2\right) \quad \because \ln \left( \frac{1}{2}\right) =\ln \left(
1\right) -\ln \left( 2\right) \\
&=&\frac{2x-x^{2}\ln \left( 2\right) }{2^{x}} \\
&=&\frac{x\left[ 2-x\ln \left( 2\right) \right] }{2^{x}}
\end{eqnarray*}を定めます。

関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left( x^{5}-1\right) \cdot 10^{x}
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は多項式関数\(x^{5}-1\)と指数関数\(10^{x}\)の積として定義されているため微分可能であり、導関数\(f^{\prime }:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{eqnarray*}f^{\prime }\left( x\right) &=&\frac{d}{dx}\left[ \left( x^{5}-1\right)
\cdot 10^{x}\right] \quad \because f\text{の定義} \\
&=&\left[ \frac{d}{dx}\left( x^{5}-1\right) \right] \cdot 10^{x}+\left(
x^{5}-1\right) \cdot \frac{d}{dx}10^{x}\quad \because \text{積の微分法則} \\
&=&5x^{4}\cdot 10^{x}+\left( x^{5}-1\right) \left( 10^{x}\cdot \ln \left(
10\right) \right) \\
&=&10^{x}\left[ \ln \left( 10\right) \cdot x^{5}+5x^{4}-\ln \left( 10\right) \right] \end{eqnarray*}を定めます。

関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\frac{2^{x}}{x^{2}+1}
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は多項式関数\(x^{2}+1\)と指数関数\(2^{x}\)の商として定義されているため微分可能であり、導関数\(f^{\prime }:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{eqnarray*}f^{\prime }\left( x\right) &=&\frac{d}{dx}\left( \frac{2^{x}}{x^{2}+1}\right) \quad \because f\text{の定義} \\
&=&\frac{\left( \frac{d}{dx}2^{x}\right) \cdot \left( x^{2}+1\right)
-2^{x}\cdot \frac{d}{dx}\left( x^{2}+1\right) }{\left( x^{2}+1\right) ^{2}}\quad \because \text{商の微分法則} \\
&=&\frac{2^{x}\ln \left( 2\right) \cdot \left( x^{2}+1\right) -2^{x}\cdot 2x}{\left( x^{2}+1\right) ^{2}} \\
&=&\frac{2^{x}\left[ \ln \left( 2\right) x^{2}-2x+\ln \left( 2\right) \right] }{\left( x^{2}+1\right) ^{2}}
\end{eqnarray*}を定めます。

「単利かつ年利\(5\)パーセント」という条件の定期金利に\(100\)万円を預けると、\(x\geq 0\)年後の元利合計（万円）は、\begin{eqnarray*}f\left( x\right) &=&100\cdot \left( 1+0.05\right) ^{x} \\
&=&100\cdot 1.05^{x}
\end{eqnarray*}となります。この関数のグラフは以下の通りです。

初期時点（\(x=0\)）の元本に関して、\begin{eqnarray*}f\left( 0\right) &=&100\cdot 1.05^{0} \\
&=&100\cdot 1 \\
&=&100
\end{eqnarray*}がたしかに成立しています。\(f\)は微分可能であり、その導関数\(f^{\prime }\)はそれぞれの\(x>0\)に対して、\begin{equation*}f^{\prime }\left( x\right) =100\cdot 1.05^{x}\cdot \ln \left( 1.05\right)
\end{equation*}を定めるため、任意の\(x>0\)について、\begin{eqnarray*}\frac{f^{\prime }\left( x\right) }{f\left( x\right) } &=&\frac{100\cdot
1.05^{x}\cdot \ln \left( 1.05\right) }{100\cdot 1.05^{x}} \\
&=&\ln \left( 1.05\right)
\end{eqnarray*}が成り立ちますが、これは定数です。これは何を意味するのでしょうか。\(f^{\prime }\left( x\right) \)は\(x\)年後の時点における元本の増加率であり、\(f\left( x\right) \)は\(x\)年後の時点における元本合計です。したがって、それらの商\(\frac{f^{\prime }\left(x\right) }{f\left( x\right) }\)は\(x\)年後の時点における\(1\)円当たりの増加率です。したがって、以上の事実は、元本合計が変化しても\(1\)円当たりの増加率は\(\ln \left( 1.05\right) \)で一定であることを意味します。逆に言うと、\(1\)円当たりの増加率が一定でも、元本合計は指数関数的に急速に増加するということです。

関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して定める値が、\(a>0\)かつ\(a\not=1\)を満たす\(a\in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation*}f\left( x\right) =a^{x}
\end{equation*}と表されるものとする。以下が成り立つ。

1. 点\(b\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\(f\)は点\(b\)において右側微分可能であるとともに、\begin{equation*}f^{\prime }\left( b+0\right) =a^{b}\cdot \ln \left( a\right) \end{equation*}が成り立つ。したがって、右側導関数\(f_{+}^{\prime }:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)が存在して、それぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f_{+}^{\prime }\left( x\right) =a^{x}\cdot \ln \left( a\right)
   \end{equation*}を定める。
2. 点\(b\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\(f\)は点\(b\)において左側微分可能であるとともに、\begin{equation*}f^{\prime }\left( b-0\right) =a^{b}\cdot \ln \left( a\right) \end{equation*}が成り立つ。したがって、左側導関数\(f_{-}^{\prime }:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)が存在して、それぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f_{-}^{\prime }\left( x\right) =a^{x}\cdot \ln \left( a\right)
   \end{equation*}を定める。

時点\(t\geq 0\)における培養液中の細菌数が、\begin{equation*}N\left( t\right) =1000\cdot 1.5^{x}
\end{equation*}であるものとします。時点\(t=0\)における細菌数は、\begin{eqnarray*}N\left( 0\right) &=&1000\cdot 1.5^{0} \\
&=&1000
\end{eqnarray*}であり、時点\(t=0\)における細菌の増加速度は、\begin{eqnarray*}N_{+}^{\prime }\left( 0\right) &=&\left. \frac{d^{+}}{dt}N\left( t\right)
\right\vert _{t=0} \\
&=&\left. \frac{d^{+}}{dt}1000\cdot 1.5^{x}\right\vert _{t=0} \\
&=&\left. \frac{d}{dt}1000\cdot 1.5^{x}\right\vert _{t=0} \\
&=&\left. \left( 1000\cdot \frac{d}{dt}1.5^{x}\right) \right\vert _{t=0} \\
&=&\left. \left( 1000\cdot 1.5^{x}\cdot \ln \left( 1.5\right) \right)
\right\vert _{t=0} \\
&=&1000\cdot \ln \left( 1.5\right) \\
&\approx &405
\end{eqnarray*}です。

関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left( x^{5}-1\right) \cdot 10^{x}
\end{equation*}を定めるものとします。導関数を求めてください。

関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =2^{4x}+4x^{2}
\end{equation*}を定めるものとします。導関数を求めてください。

関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =x^{5}\left( \frac{1}{10}\right) ^{2x}
\end{equation*}を定めるものとします。導関数を求めてください。

関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =2^{x}
\end{equation*}を定めるものとします。以下の問いに答えてください。

1. \(x=0\)における\(f\left( x\right) \)の1次の線型近似式を求めてください。
2. 問1の結果を踏まえた上で、以下の値\begin{equation*}2^{0.02}
   \end{equation*}の近似値を求めてください。ただし、\begin{equation*}
   \ln \left( 2\right) \approx 0.693
   \end{equation*}とした上で計算してください。