一般の対数関数の微分

関数\(f:\mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in \mathbb{R} _{++}\)に対して定める値が、\(a>0\)かつ\(a\not=1\)を満たす\(a\in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation*}f\left( x\right) =\log _{a}\left( x\right)
\end{equation*}と表されるものとする。点\(b\in \mathbb{R} _{++}\)を任意に選んだとき、\(f\)は点\(b\)において微分可能であるとともに、\begin{equation*}f^{\prime }\left( b\right) =\frac{1}{b\cdot \ln \left( a\right) }
\end{equation*}が成り立つ。したがって、導関数\(f^{\prime }:\mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} \)が存在して、それぞれのそれぞれの\(x\in \mathbb{R} _{++}\)に対して、\begin{equation*}f^{\prime }\left( x\right) =\frac{1}{x\cdot \ln \left( a\right) }
\end{equation*}を定める。

関数\(f:\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)に対して定める値が、\(a>0\)かつ\(a\not=1\)を満たす\(a\in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation*}f\left( x\right) =\log _{a}\left( \left\vert x\right\vert \right)
\end{equation*}と表されるものとします。\(f\)は\(\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)上において微分可能であり、導関数\(f^{\prime }:\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)に対して、\begin{equation*}f^{\prime }\left( x\right) =\frac{1}{x\cdot \ln \left( a\right) }
\end{equation*}を定めます（演習問題）。

関数\(f:\mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} _{++}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\frac{\log _{2}\left( x\right) }{x}
\end{equation*}を定めるものとします。関数\(f\)は対数関数\(\log _{2}\left( x\right) \)と恒等関数\(x\)の商として定義されているため微分可能であり、導関数\(f^{\prime }:\mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} _{++}\)に対して、\begin{eqnarray*}f^{\prime }\left( x\right) &=&\frac{d}{dx}\frac{\log _{2}\left( x\right) }{x} \\
&=&\frac{\left[ \frac{d}{dx}\log _{2}\left( x\right) \right] \cdot x-\log
_{2}\left( x\right) \cdot \frac{d}{dx}x}{x^{2}}\quad \because \text{商の微分法則} \\
&=&\frac{\frac{1}{x\cdot \ln \left( 2\right) }\cdot x-\log _{2}\left(
x\right) \cdot 1}{x^{2}} \\
&=&\frac{\frac{1}{\ln \left( 2\right) }-\log _{2}\left( x\right) }{x^{2}} \\
&=&\frac{1-\ln \left( 2\right) \log _{2}\left( x\right) }{x^{2}\ln \left(
2\right) } \\
&=&\frac{1-\ln \left( 2\right) \frac{\ln \left( x\right) }{\ln \left(
2\right) }}{x^{2}\ln \left( 2\right) }\quad \because \log _{2}\left(
x\right) =\frac{\ln \left( 2\right) }{\ln \left( x\right) } \\
&=&\frac{1-\ln \left( x\right) }{x^{2}\ln \left( 2\right) }
\end{eqnarray*}を定めます。

関数\(f:\mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} _{++}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =x\log _{3}\left( x\right) -x
\end{equation*}を定めるものとします。関数\(f\)は微分可能な関数どうしの積および差として定義されているため微分可能であり、導関数\(f^{\prime }:\mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} _{++}\)に対して、\begin{eqnarray*}f^{\prime }\left( x\right) &=&\frac{d}{dx}\left[ x\log _{3}\left( x\right)
-x\right] \\
&=&\frac{d}{dx}\left[ x\log _{3}\left( x\right) \right] -\frac{d}{dx}x\quad
\because \text{差の微分法則} \\
&=&\left( \frac{d}{dx}x\right) \cdot \log _{3}\left( x\right) +x\cdot \left[
\frac{d}{dx}\log _{3}\left( x\right) \right] -1\quad \because \text{積の微分法則} \\
&=&1\cdot \log _{3}\left( x\right) +x\cdot \frac{1}{x\cdot \ln \left(
3\right) }-1 \\
&=&\log _{3}\left( x\right) +\frac{1}{\ln \left( 3\right) }-1
\end{eqnarray*}を定めます。

関数\(f:\mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} _{++}\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\log _{3}\left( \frac{3}{x}\right) +\frac{3}{x}
\end{equation*}を定めるものとします。関数\(f\)は微分可能な関数どうしの積および和として定義されているため微分可能であり、導関数\(f^{\prime }:\mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} _{++}\)に対して、\begin{eqnarray*}f^{\prime }\left( x\right) &=&\frac{d}{dx}\left[ \log _{3}\left( \frac{3}{x}\right) +\frac{3}{x}\right] \\
&=&\frac{d}{dx}\left[ \log _{3}\left( \frac{3}{x}\right) \right] +\frac{d}{dx}\frac{3}{x}\quad \because \text{和の微分法則} \\
&=&\left. \frac{d}{dy}\log _{3}\left( y\right) \right\vert _{y=\frac{3}{x}}\cdot \frac{d}{dx}\frac{3}{x}-\frac{3}{x^{2}}\quad \because \text{合成関数の微分} \\
&=&\left. \frac{1}{y\cdot \ln \left( 3\right) }\right\vert _{y=\frac{3}{x}}\cdot \left( -\frac{3}{x^{2}}\right) -\frac{3}{x^{2}} \\
&=&\frac{1}{\frac{3}{x}\cdot \ln \left( 3\right) }\cdot \left( -\frac{3}{x^{2}}\right) -\frac{3}{x^{2}} \\
&=&-\frac{1}{x\ln \left( 3\right) }-\frac{3}{x^{2}} \\
&=&\frac{-x-3\ln \left( 3\right) }{x^{2}\ln \left( 3\right) }
\end{eqnarray*}を定めます。

ローカル・マグニチュード（local magnitude scale）とは、地震計の針の振れ幅の大きさをもとに地震の規模を表現する指標です。具体的には、震源から100km離れた地点に置かれた標準的な地震計が記録する針の振れ幅（μm）が\(x\)である場合、ローカル・マグニチュードは、\begin{equation*}f\left( x\right) =\log _{10}\left( x\right)
\end{equation*}と定義されます。\(f\)は微分可能であり、その導関数\(f^{\prime }\)はそれぞれの\(x>0\)に対して、\begin{equation*}f^{\prime }\left( x\right) =\frac{1}{x\ln \left( 10\right) }
\end{equation*}を定めます。\(\ln \left( 10\right) >0\)であるため、以上の事実は、\(f^{\prime }\left( x\right) \)が減少関数であることを意味します。つまり、針の振れ幅が大きい地震であるほど、そこからさらに針の振れ幅が大きくなった場合のローカル・マグニチュードの増加率は小さいということです。

関数\(f:\mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in \mathbb{R} _{++}\)に対して定める値が、\(a>0\)かつ\(a\not=1\)を満たす\(a\in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation*}f\left( x\right) =\log _{a}\left( x\right)
\end{equation*}と表されるものとする。以下が成り立つ。

1. 点\(b\in \mathbb{R} _{++}\)を任意に選んだとき、\(f\)は点\(b\)において右側微分可能であるとともに、\begin{equation*}f^{\prime }\left( b+0\right) =\frac{1}{b\cdot \ln \left( a\right) }\end{equation*}が成り立つ。したがって、右側導関数\(f_{+}^{\prime }:\mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} \)が存在して、それぞれの\(x\in \mathbb{R} _{++}\)に対して、\begin{equation*}f_{+}^{\prime }\left( x\right) =\frac{1}{b\cdot \ln \left( x\right) }
   \end{equation*}を定める。
2. 点\(b\in \mathbb{R} _{++}\)を任意に選んだとき、\(f\)は点\(b\)において左側微分可能であるとともに、\begin{equation*}f^{\prime }\left( b-0\right) =\frac{1}{b\cdot \ln \left( a\right) }\end{equation*}が成り立つ。したがって、左側導関数\(f_{-}^{\prime }:\mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} \)が存在して、それぞれの\(x\in \mathbb{R} _{++}\)に対して、\begin{equation*}f_{-}^{\prime }\left( x\right) =\frac{1}{b\cdot \ln \left( x\right) }
   \end{equation*}を定める。

被験者に与える物理的刺激の強度が\(I\geq 0\)である場合に、被験者が報告する主観的感覚量が、\begin{equation*}S\left( I\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
k\log _{10}\left( \frac{I}{I_{0}}\right) & \left( if\ I\geq I_{0}\right)
\\
0 & \left( if\ I<I_{0}\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}であるものとします。ただし、\(k>0\)は定数であり、\(I_{0}>0\)は人間の知覚閾値、すなわち人間が刺激を感じ始める最小強度です。刺激の強度が閾値\(I=I_{0}\)である場合の右側微分係数は、\begin{eqnarray*}S_{+}^{\prime }\left( I_{0}\right) &=&\left. \frac{d^{+}}{dI}k\log
_{10}\left( \frac{I}{I_{0}}\right) \right\vert _{I=I_{0}} \\
&=&\left. \left[ k\cdot \frac{d^{+}}{dI}\log _{10}\left( \frac{I}{I_{0}}\right) \right] \right\vert _{I=I_{0}} \\
&=&\left. \left[ k\cdot \left. \frac{d^{+}}{dy}\log _{10}\left( y\right)
\right\vert _{y=\frac{I}{I_{0}}}\cdot \frac{d}{dI}\frac{I}{I_{0}}\right] \right\vert _{I=I_{0}} \\
&=&\left. \left[ k\cdot \left. \frac{1}{y\ln \left( 10\right) }\right\vert
_{y=\frac{I}{I_{0}}}\cdot \frac{1}{I_{0}}\right] \right\vert _{I=I_{0}} \\
&=&\left. \left[ k\cdot \frac{I_{0}}{I\ln \left( 10\right) }\cdot \frac{1}{I_{0}}\right] \right\vert _{I=I_{0}} \\
&=&k\cdot \frac{I_{0}}{I_{0}\ln \left( 10\right) }\cdot \frac{1}{I_{0}} \\
&=&\frac{k}{I_{0}\ln \left( 10\right) }
\end{eqnarray*}です。以上の事実は、閾値\(I_{0}\)を出発点として刺激の強度を増やすと、感覚量は\(\frac{k}{I_{0}\ln \left( 10\right) }\)の割合で増えることを意味します。

関数\(f:\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)に対して定める値が、\(a>0\)かつ\(a\not=1\)を満たす\(a\in \mathbb{R} \)を用いて、\begin{equation*}f\left( x\right) =\log _{a}\left( \left\vert x\right\vert \right)
\end{equation*}と表されるものとします。\(f\)は\(\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)上において微分可能であり、導関数\(f^{\prime }:\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)に対して、\begin{equation*}f^{\prime }\left( x\right) =\frac{1}{x\cdot \ln \left( a\right) }
\end{equation*}を定めることを証明してください。

関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =3\log _{7}\left( x^{2}+1\right)
\end{equation*}を定めるものとします。導関数を求めてください。

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\log _{2}\left( 3x+1\right)
\end{equation*}を定めるものとします。ただし、\begin{eqnarray*}
X &=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ 3x+1>0\right\} \\
&=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ x>-\frac{1}{3}\right\}
\end{eqnarray*}です。点\(x=1\)における関数\(f\)のグラフの接線の傾きの大きさを求めてください。