多項式関数の微分

関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して定める値が、非負の整数\(n\in \mathbb{Z} _{+}\)と実数\(c_{k}\ \left( k=0,1,\cdots ,n\right) \)を用いて、\begin{equation*}f\left( x\right) =c_{0}+c_{1}x+c_{2}x^{2}+\cdots +c_{n}x^{n}
\end{equation*}と表されるものとする。点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\begin{equation*}f^{\prime }\left( a\right) =c_{1}+2c_{2}a+\cdots +nca^{n-1}
\end{equation*}が成り立つ。したがって、導関数\(f^{\prime }:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)が存在して、それぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f^{\prime }\left( x\right) =c_{1}+2c_{2}x+\cdots +nc_{n}x^{n-1}
\end{equation*}を定める。

関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =8x^{3}+2x^{2}-x+1
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は微分可能であり、導関数\(f^{\prime }:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{eqnarray*}f^{\prime }\left( x\right) &=&\frac{d}{dx}\left( 8x^{3}+2x^{2}-x+1\right)
\quad \because f\text{の定義} \\
&=&3\cdot 8x^{2}+2\cdot 2x-1\quad \because \text{多項式関数の微分} \\
&=&24x^{2}+4x-1
\end{eqnarray*}を定めます。

直線上を移動する物体の時点\(t\geq 0\)における位置が、\begin{equation*}x\left( t\right) =t^{3}-6t^{2}+9t
\end{equation*}で与えられるものとします。時点\(t>0\)における速度は、\begin{eqnarray*}v\left( t\right) &=&x^{\prime }\left( t\right) \quad \because \text{速度の定義} \\
&=&\frac{d}{dt}\left( t^{3}-6t^{2}+9t\right) \quad \because x\text{の定義} \\
&=&3t^{2}-12t+9
\end{eqnarray*}です。時点\(t=1\)における速度は、\begin{eqnarray*}v\left( 1\right) &=&3\cdot 1^{2}-12\cdot 1+9 \\
&=&0
\end{eqnarray*}であるため、このとき物体は静止しています。時点\(t=2\)における速度は、\begin{eqnarray*}v\left( 2\right) &=&3\cdot 2^{2}-12\cdot 2+9 \\
&=&-3
\end{eqnarray*}であるため、このとき物体は負の方向へ動いています。

関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して定める値が、非負の整数\(n\in \mathbb{Z} _{+}\)と実数\(c_{k}\ \left( k=0,1,\cdots ,n\right) \)を用いて、\begin{equation*}f\left( x\right) =c_{0}+c_{1}x+c_{2}x^{2}+\cdots +c_{n}x^{n}
\end{equation*}と表されるものとする。点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ f^{\prime }\left( a+0\right) =c_{1}+2c_{2}a+\cdots
+nca^{n-1} \\
&&\left( b\right) \ f^{\prime }\left( a-0\right) =c_{1}+2c_{2}a+\cdots
+nca^{n-1}
\end{eqnarray*}がともに成り立つ。したがって、右側導関数\(f_{+}^{\prime }:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)が存在して、それぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f_{+}^{\prime }\left( x\right) =c_{1}+2c_{2}x+\cdots +nc_{n}x^{n-1}
\end{equation*}を定める。また、左側導関数\(f_{-}^{\prime }:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)が存在して、それぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f_{-}^{\prime }\left( x\right) =c_{1}+2c_{2}x+\cdots +nc_{n}x^{n-1}
\end{equation*}を定める。

直線上を移動する物体の時点\(t\geq 0\)における物体の位置が、\begin{equation*}x\left( t\right) =t^{3}-6t^{2}+9t
\end{equation*}で与えられるものとします。時点\(t=0\)における速度は、\begin{eqnarray*}v\left( 0\right) &=&\left. \frac{d^{+}}{dt}x\left( t\right) \right\vert
_{t=0}\quad \because \text{速度の定義} \\
&=&\left. \frac{d^{+}}{dt}\left( t^{3}-6t^{2}+9t\right) \right\vert
_{t=0}\quad \because x\text{の定義} \\
&=&\left. 3t^{2}-12t+9\right\vert _{t=0}\quad \because \text{多項式関数の右側微分} \\
&=&9
\end{eqnarray*}であるため、このとき物体は正の方向へ動いています。

関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =5x^{3}
\end{equation*}を定めるものとします。導関数\(f^{\prime }\)を求めてください。

関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(t\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( t\right) =t^{5}
\end{equation*}を定めるものとします。導関数\(f^{\prime }\)を求めてください。

関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =6x^{3}-12x
\end{equation*}を定めるものとします。導関数\(f^{\prime }\)を求めてください。

関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(t\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( t\right) =1-t
\end{equation*}を定めるものとします。導関数\(f^{\prime }\)を求めてください。

関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\sqrt{2}x^{2}-\frac{1}{2}x+\pi
\end{equation*}を定めるものとします。導関数\(f^{\prime }\)を求めてください。

関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\sqrt{2}x^{2}-\frac{1}{2}x+\pi
\end{equation*}を定めるものとします。導関数\(f^{\prime }\)を求めてください。

関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{ll}
-x^{2}+1 & \left( if\ x\leq 1\right) \\
0 & \left( if\ 1<x<2\right) \\
x^{2} & \left( if\ 2\leq x\right)\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。導関数\(f^{\prime }\)を求めてください。

ある道路の断面形状（標高）が、\begin{equation*}
h\left( x\right) =-x^{3}+6x^{2}
\end{equation*}で与えられているものとします。ただし、\(0\leq x\leq 10\)です。勾配が上がっている\(x\)の範囲を特定してください。

関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =x^{3}-3x^{2}+2
\end{equation*}を定めるものとします。\(x=1\)における\(f\left( x\right) \)の1次の線型近似式を求めた上で、以下の値\begin{equation*}f\left( 1.02\right)
\end{equation*}の近似値を求めてください。