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有界閉区間上に定義された絶対連続関数は有界変動関数ですが、有界変動関数は絶対連続関数であるとは限りません。また、絶対連続関数は2つの単調増加な連続関数の差として表されます。

有界閉区間上に定義された有界変動関数は連続であるとは限らず、逆に、連続関数は有界変動であるとは限りません。その一方で、有界変動関数はほとんどいたるところで連続です。

有界閉区間上に定義されたリプシッツ関数は絶対連続関数であることが保証される一方で、絶対連続関数はリプシッツ関数であるとは限りません。絶対連続関数は一様連続であり、一様連続関数は連続であるため、リプシッツ関数は一様連続かつ連続です。

有界閉区間上に定義された絶対連続関数は一様連続であることが保証される一方で、一様連続関数は絶対連続関数であるとは限りません。一様連続関数は連続であるため、絶対連続関数は連続です。

リプシッツ関数（リプシッツ連続関数）の概念を定義するとともに、その意味を解説します。加えて、関数がリプシッツ連続であること、リプシッツ連続ではないことを判定する方法を解説します。

有界閉区間上に定義された関数が絶対連続であることの意味を定義するとともに、関数が絶対連続であること、ないし絶対連続ではないことを判定する方法を解説します。

関数が有界閉区間上で有界変動であることと、その関数が2つの（狭義）単調増加関数の差として表されることは必要十分条件です。

関数が有界閉区間上で有界変動であることと、それぞれの小区間において有界変動であることが必要十分です。しかも、それぞれの小区間における全変動の総和をとれば、もとの区間における全変動が得られます。

有界変動関数の逆数として定義される関数や、有界変動関数どうしの商として定義される関数が有界変動になるための条件を明らかにします。

有界変動関数どうしの積として定義される関数もまた有界変動です。

有界変動関数どうしの差として定義される関数もまた有界変動です。さらに、その関数の全変動は、個々の関数の全変動の和以下になります。

有界変動関数どうしの和として定義される関数もまた有界変動です。さらに、その関数の全変動は、個々の関数の全変動の和以下になります。

有界変動関数の定数倍として定義される関数もまた有界変動です。さらに、もとの関数の全変動の定数倍をとれば、その関数の定数倍の全変動が得られます。

有界変動関数は有界関数です。対偶より、有界ではない関数は有界変動関数ではありません。その一方で、有界関数は有界変動関数であるとは限りません。

関数の定義域である有界閉区間をどのような形で分割した場合においても、それぞれの小区間における関数の値の差の総和が有限な値に収まる場合、その関数は有界変動であると言います。

関数の上極限は右上極限と左上極限のうちの大きい方と一致します。また、関数の下極限は右下極限と左下極限のうちの小さい方と一致します。

関数の無限大における上極限と下極限がともに有限であるとともに両者が一致することは、その関数が無限大において有限な実数へ収束するための必要十分条件です。その場合、極限は上極限や下極限と一致します。

無限大における関数の極限を一般化することにより、無限大における関数の上極限ないし下極限と呼ばれる概念を定義します。

関数の上極限や下極限が有限な実数として定まる場合には、それを数列の極限を用いて表現することができます。

関数の右側上極限と右側下極限が有限な実数として定まるとともに両者が一致することは、その関数が有限な実数へ収束するための必要十分条件です。しかもその場合、右側極限は右側上極限や右側下極限と一致します。左側極限についても同様です。

関数の上極限と下極限が有限な実数として定まるとともに両者が一致することは、その関数が有限な実数へ収束するための必要十分条件です。しかもその場合、極限は上極限や下極限と一致します。

関数の値域が上に有界である場合、その関数は上に有界であると言います。関数の値域が下に有界である場合、その関数は下に有界であると言います。上に有界かつ下に有界な関数を有界な関数と呼びます。

関数の片側上極限（右側上極限と左側上極限）と片側下極限（右側下極限と左側下極限）を定義します。関数が局所有界である場合、その片側上極限と片側下極限がそれぞれ有限な実数として定まることが保証されます。

区間上に定義された上に有界な単調増加関数や下に有界な単調減少関数は区間の右側の端点において左側収束します。また、下に有界な単調増加関数や上に有界な単調減少関数は区間の左側の端点において右側収束します。

関数の上極限と下極限を定義します。関数が局所有界である場合、その上極限と下極限がそれぞれ有限な実数として定まることが保証されます。