直交座標系（カルテシアン座標系）
空間上に存在する点の位置を特定するために、それぞれの点に対して付与される数の組を座標と呼びます。最も基本的な座標系である直交座標系について解説します。
媒介変数曲線とy軸によって囲まれる領域の面積と積分
平面上に存在する曲線が媒介変数表示されている状況において、曲線とy軸によって囲まれる領域の面積をリーマン積分を用いて求める方法を解説します。
媒介変数曲線とx軸によって囲まれる領域の面積と積分
平面上に存在する曲線が媒介変数表示されている状況において、曲線とx軸によって囲まれる領域の面積をリーマン積分を用いて求める方法を解説します。
サイクロイドの微分
平面上に存在するサイクロイドが媒介変数表示されている状況において、サイクロイド上に存在する点のx座標とy座標の値の関係を微分を用いて評価する方法を解説します。
変数yに関する2つの関数のグラフに囲まれた領域の面積
有界閉区間上に定義された変数yに関する2つの連続関数のグラフによって囲まれた領域の面積をリーマン積分を利用して求める方法を解説します。
変数yに関する関数のグラフとy軸によって囲まれる領域の面積と積分
有界閉区間上に定義された変数yに関する連続関数とy軸によって囲まれた領域の面積をリーマン積分を利用して求める方法を解説します。
変数xに関する2つの関数のグラフに囲まれた領域の面積
有界閉区間上に定義された変数xに関する2つの連続関数のグラフによって囲まれた領域の面積をリーマン積分を利用して求める方法を解説します。
変数xに関する関数のグラフとx軸によって囲まれる領域の面積と積分
有界閉区間上に定義された変数xに関する連続関数とx軸によって囲まれた領域の面積をリーマン積分を利用して求める方法を解説します。
ルベーグ積分に関する微分積分学の第2基本定理
絶対連続関数を対象とした場合、ルベーグ積分に関しても微分積分学の第2基本定理は成立します。つまり、有界閉区間上に定義された絶対連続関数の導関数をルベーグ積分すると関数の変化量が得られます。
ルベーグ積分に関する微分積分学の第1基本定理
ルベーグ積分に関しても微分積分学の第1基本定理は成立します。つまり、区間[a,b]上においてルベーグ積分可能な関数fが与えられたとき、区間[a,b]上の点xを任意に選んだ上で関数fを区間[a,x]上でルベーグ積分して得られた結果を微分すると、関数fが点xに対して定める値f(x)が得られます。
微分を用いた絶対連続性の判定方法
有界閉区間上に定義された関数が定義域上で連続であり、定義域の内部である有界開区間上で微分可能であり、なおかつ導関数が有界である場合、その関数は絶対連続になることが保証されます。
絶対連続関数の微分可能性
有界閉区間上に定義された絶対連続関数は定義域上のほとんどいたるところで微分可能です。リプシッツ関数は絶対連続関数であるため、有界閉区間上に定義されたリプシッツ関数もまたほとんどいたるところで微分可能です。
有界変動関数と絶対連続関数の関係
有界閉区間上に定義された絶対連続関数は有界変動関数ですが、有界変動関数は絶対連続関数であるとは限りません。また、絶対連続関数は2つの単調増加な連続関数の差として表されます。
有界変動関数と連続関数の関係
有界閉区間上に定義された有界変動関数は連続であるとは限らず、逆に、連続関数は有界変動であるとは限りません。その一方で、有界変動関数はほとんどいたるところで連続です。
リプシッツ関数と絶対連続関数の関係
有界閉区間上に定義されたリプシッツ関数は絶対連続関数であることが保証される一方で、絶対連続関数はリプシッツ関数であるとは限りません。絶対連続関数は一様連続であり、一様連続関数は連続であるため、リプシッツ関数は一様連続かつ連続です。
絶対連続関数と一様連続関数の関係
有界閉区間上に定義された絶対連続関数は一様連続であることが保証される一方で、一様連続関数は絶対連続関数であるとは限りません。一様連続関数は連続であるため、絶対連続関数は連続です。
リプシッツ関数
リプシッツ関数（リプシッツ連続関数）の概念を定義するとともに、その意味を解説します。加えて、関数がリプシッツ連続であること、リプシッツ連続ではないことを判定する方法を解説します。
有界変動関数の全変動の加法性
関数が有界閉区間上で有界変動であることと、それぞれの小区間において有界変動であることが必要十分です。しかも、それぞれの小区間における全変動の総和をとれば、もとの区間における全変動が得られます。
有界変動関数
関数の定義域である有界閉区間をどのような形で分割した場合においても、それぞれの小区間における関数の値の差の総和が有限な値に収まる場合、その関数は有界変動であると言います。
カントール関数（カントール・ルベーグ関数）
カントール集合の要素はいずれも小数点以下が0または2であるような3進数として一意的に表現されますが、それを2進数に変換する関数をカントール関数と呼びます。カントール関数は全射かつ単調増加かつ連続です。
カントール集合
カントール集合を定義するとともに、3進展開を用いてカントール集合を特徴づけます。カントール集合は非空なコンパクト集合であるとともに、非可算集合であるような零集合でもあります。
関数の上極限・下極限と片側上極限・下極限の関係
関数の上極限は右上極限と左上極限のうちの大きい方と一致します。また、関数の下極限は右下極限と左下極限のうちの小さい方と一致します。
無限大における上極限と下極限を用いた関数の収束判定
関数の無限大における上極限と下極限がともに有限であるとともに両者が一致することは、その関数が無限大において有限な実数へ収束するための必要十分条件です。その場合、極限は上極限や下極限と一致します。
単調関数の片側ディニ微分（右上微分・左上微分・右下微分・左下微分）
有界閉区間上に定義された単調増加関数の右上ディニ微分や左上微分が正の無限になる点からなる集合の外測度はゼロです。また、有界閉区間上に定義された単調減少関数の右下ディニ微分や左下ディニ微分が負の無限になる点からなる集合の外測度はゼロです。
単調関数のディニ微分（上微分・下微分）
有界閉区間上に定義された単調増加関数の上ディニ微分が正の無限になる点からなる集合の外測度はゼロです。また、有界閉区間上に定義された単調減少関数の下ディニ微分が負の無限になる点からなる集合の外測度はゼロです。
片側ディニ微分を用いた関数の片側微分可能性の判定
関数が右上ディニ微分可能かつ右下ディニ微分可能であるとともに右上と右下のディニ微分係数が一致することは、その関数が右側微分可能であるための必要十分条件です。しかもこのとき、右側微分係数は右上と右下のディニ微分係数と一致します。左側微分についても同様です。
関数の片側ディニ微分（右上微分・左上微分・右下微分・左下微分）
関数の平均変化率を変化量に関する関数とみなした場合の右側上極限を右上ディニ微分係数と呼び、左側上極限を左上ディニ微分係数と呼び、右側下極限を右下ディニ微分係数と呼び、左側下極限を左下ディニ微分係数と呼びます。
ヴィタリの被覆定理
点集合のヴィタリ被覆の中から有限個の互いに素な区間を上手く選んだ上で、選んだ区間の和集合ともとの集合との差集合をとることにより、その差集合の測度をいくらでも小さくすることができます。これをヴィタリの被覆定理と呼びます。
ディニ微分を用いた関数の微分可能性の判定
関数が上ディニ微分可能かつ下ディニ微分可能であるとともに上下のディニ微分係数が一致することは、その関数が微分可能であるための必要十分条件です。しかもこのとき、微分係数は上下のディニ微分係数と一致します。
片側上極限と片側下極限を用いた関数の片側収束判定
関数の右側上極限と右側下極限が有限な実数として定まるとともに両者が一致することは、その関数が有限な実数へ収束するための必要十分条件です。しかもその場合、右側極限は右側上極限や右側下極限と一致します。左側極限についても同様です。
