自然指数関数の微分

関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =e^{x}
\end{equation*}を定めるものとする。点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\(f\)は点\(a\)において微分可能であるとともに、\begin{equation*}f^{\prime }\left( a\right) =e^{a}
\end{equation*}が成り立つ。したがって導関数\(f^{\prime }:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)が存在して、それぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f^{\prime }\left( x\right) =e^{x}
\end{equation*}を定める。

関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =x^{2}e^{x}
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は多項式関数\(x^{2}\)と自然指数関数\(e^{x}\)の積として定義されているため微分可能であり、導関数\(f^{\prime }:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{eqnarray*}f^{\prime }\left( x\right) &=&\frac{d}{dx}\left( x^{2}e^{x}\right) \quad
\because f\text{の定義} \\
&=&\left( \frac{d}{dx}x^{2}\right) \cdot e^{x}+x^{2}\cdot \frac{d}{dx}e^{x}\quad \because \text{積の微分法則}
\\
&=&2xe^{x}+x^{2}e^{x} \\
&=&xe^{x}\left( x+2\right)
\end{eqnarray*}を定めます。

関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\frac{e^{x}}{x^{2}+1}
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は多項式関数\(x^{2}+1\)と自然指数関数\(e^{x}\)の商として定義されているため微分可能であり、導関数\(f^{\prime }:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{eqnarray*}f^{\prime }\left( x\right) &=&\frac{d}{dx}\left( \frac{e^{x}}{x^{2}+1}\right) \quad \because f\text{の定義} \\
&=&\frac{\left( \frac{d}{dx}e^{x}\right) \cdot \left( x^{2}+1\right)
-e^{x}\cdot \frac{d}{dx}\left( x^{2}+1\right) }{\left( x^{2}+1\right) ^{2}}\quad \because \text{商の微分法則} \\
&=&\frac{e^{x}\left( x^{2}+1\right) -e^{x}\left( 2x\right) }{\left(
x^{2}+1\right) ^{2}} \\
&=&\frac{e^{x}\left( x^{2}-2x+1\right) }{\left( x^{2}+1\right) ^{2}} \\
&=&\frac{e^{x}\left( x-1\right) ^{2}}{\left( x^{2}+1\right) ^{2}}
\end{eqnarray*}を定めます。

関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =e^{x^{3}-3}
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は多項式関数\(x^{3}-3\)と自然指数関数\(e^{x}\)の合成関数として定義されているため微分可能であり、導関数\(f^{\prime }:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{eqnarray*}f^{\prime }\left( x\right) &=&\frac{d}{dx}\left( e^{x^{3}-3}\right) \quad
\because f\text{の定義} \\
&=&\left. \frac{d}{dy}e^{y}\right\vert _{y=x^{3}-3}\cdot \frac{d}{dx}\left(
x^{3}-3\right) \quad \because \text{合成関数の微分} \\
&=&\left. e^{y}\right\vert _{y=x^{3}-3}\cdot \left( 3x^{2}\right) \\
&=&e^{x^{3}-3}\cdot \left( 3x^{2}\right) \\
&=&3x^{2}e^{x^{3}-3}
\end{eqnarray*}を定めます。

関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =e^{\frac{1}{x^{2}+1}}
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は有理関数\(\frac{1}{x^{2}+1}\)と自然指数関数\(e^{x}\)の合成関数として定義されているため微分可能であり、導関数\(f^{\prime }:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{eqnarray*}f^{\prime }\left( x\right) &=&\frac{d}{dx}\left( e^{\frac{1}{x^{2}+1}}\right) \quad \because f\text{の定義} \\
&=&\left. \frac{d}{dy}e^{y}\right\vert _{y=\frac{1}{x^{2}+1}}\cdot \frac{d}{dx}\left( \frac{1}{x^{2}+1}\right) \quad \because \text{合成関数の微分} \\
&=&\left. e^{y}\right\vert _{y=\frac{1}{x^{2}+1}}\cdot \frac{\left( \frac{d}{dx}1\right) \cdot \left( x^{2}+1\right) -1\cdot \frac{d}{dx}\left(
x^{2}+1\right) }{\left( x^{2}+1\right) ^{2}} \\
&=&e^{\frac{1}{x^{2}+1}}\cdot \frac{-2x}{\left( x^{2}+1\right) ^{2}} \\
&=&-2x\frac{e^{\frac{1}{x^{2}+1}}}{\left( x^{2}+1\right) ^{2}}
\end{eqnarray*}を定めます。

蚊の集団の初期時点における個体数が\(1000\)であるものとします。\(x\geq 0\)日後の個体数が、\begin{equation*}f\left( x\right) =1000\cdot e^{0.3x}
\end{equation*}であるものとします。この関数のグラフは以下の通りです。

初期時点（\(x=0\)）の個体数に関して、\begin{eqnarray*}f\left( 0\right) &=&1000\cdot e^{0} \\
&=&1000\cdot 1 \\
&=&1000
\end{eqnarray*}がたしかに成立しています。\(f\)は微分可能であり、その導関数\(f^{\prime }\)はそれぞれの\(x>0\)に対して、\begin{eqnarray*}f^{\prime }\left( x\right) &=&1000\cdot e^{0.3x}\cdot 0.3 \\
&=&300\cdot e^{0.3x}
\end{eqnarray*}を定めるため、任意の\(x>0\)について、\begin{eqnarray*}\frac{f^{\prime }\left( x\right) }{f\left( x\right) } &=&\frac{300\cdot
e^{0.3x}}{1000\cdot e^{0.3x}} \\
&=&0.3
\end{eqnarray*}が成り立ちますが、これは定数です。これは何を意味するのでしょうか。\(f^{\prime }\left( x\right) \)は\(x\)日後の時点における個体数の増加率であり、\(f\left( x\right) \)は\(x\)日後の時点における個体数です。したがって、それらの商\(\frac{f^{\prime }\left(x\right) }{f\left( x\right) }\)は\(x\)日後の時点における個体当たりの増加率です。したがって、以上の事実は、個体数が変化しても個体当たりの増加率は\(0.3\)で一定であることを意味します。逆に言うと、個体当たりの増加率が\(0.3\)で一定の場合でも、個体数は指数関数的に急速に増加するということです。

関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =e^{x}
\end{equation*}を定めるものとする。以下が成り立つ。

1. 点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\(f\)は点\(a\)において右側微分可能であるとともに、\begin{equation*}f^{\prime }\left( a+0\right) =e^{a}\end{equation*}が成り立つ。したがって、右側導関数\(f_{+}^{\prime }:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)が存在して、それぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f_{+}^{\prime }\left( x\right) =e^{x}
   \end{equation*}を定める。
2. 点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\(f\)は点\(a\)において左側微分可能であるとともに、\begin{equation*}f^{\prime }\left( a-0\right) =e^{a}\end{equation*}が成り立つ。したがって、左側導関数\(f_{-}^{\prime }:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)が存在して、それぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f_{-}^{\prime }\left( x\right) =e^{x}
   \end{equation*}を定める。

時点\(t\geq 0\)における放射線の測定値が、\begin{equation*}M\left( t\right) =5+20e^{-0.3t}
\end{equation*}であるものとします。時点\(t=0\)における放射線の減衰率、すなわち初期減衰率は、\begin{eqnarray*}M_{+}^{\prime }\left( 0\right) &=&\left. \frac{d^{+}}{dt}M\left( t\right)
\right\vert _{t=0} \\
&=&\left. \frac{d^{+}}{dt}\left( 5+20e^{-0.3t}\right) \right\vert _{t=0} \\
&=&\left. \frac{d}{dt}\left( 5+20e^{-0.3t}\right) \right\vert _{t=0} \\
&=&\left. \left( \frac{d}{dt}5+20\cdot \frac{d}{dt}e^{-0.3t}\right)
\right\vert _{t=0} \\
&=&\left. \left[ 20\cdot \left. \frac{d}{ds}e^{s}\right\vert _{s=-0.3t}\cdot
\frac{d}{dt}\left( -0.3t\right) \right] \right\vert _{t=0} \\
&=&\left. \left[ 20\cdot \left. e^{x}\right\vert _{s=-0.3t}\cdot \left(
-0.3\right) \right] \right\vert _{t=0} \\
&=&\left. \left[ 20\cdot e^{-0.3t}\cdot \left( -0.3\right) \right] \right\vert _{t=0} \\
&=&-6
\end{eqnarray*}です。

関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =x^{5}e^{2x}
\end{equation*}を定めるものとします。導関数を求めてください。

関数\(f:\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\frac{2e^{3x}}{x}
\end{equation*}を定めるものとします。導関数を求めてください。

関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left( e^{2x}\right) ^{3}
\end{equation*}を定めるものとします。導関数を求めてください。

関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =3\left( e^{2x^{4}+1}\right) ^{3}
\end{equation*}を定めるものとします。導関数を求めてください。

平面上に自然指数関数\(e^{x}\)のグラフをプロットします。このグラフの接線の傾きの大きさが\(20\)と一致するような接点の座標を求めてください。

関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =e^{x}
\end{equation*}を定めるものとします。以下の問いに答えてください。

1. \(x=0\)における\(f\left( x\right) \)の1次の線型近似式を求めてください。
2. 問1の結果を踏まえた上で、以下の値\begin{equation*}e^{0.03}
   \end{equation*}の近似値を求めてください。
3. 問2の結果を踏まえた上で、以下の値\begin{equation*}e^{1.03}
   \end{equation*}の近似値を求めてください。ただし、\begin{equation*}
   e\approx 2.718
   \end{equation*}とした上で計算してください。