上方位集合
\(N\)種類の商品が存在する経済を想定した上で、消費者が直面する個々の選択肢を\(N\)次元ベクトル\begin{equation*}\boldsymbol{x}=\left( x_{1},\cdots ,x_{N}\right) \in \mathbb{R} ^{N}
\end{equation*}として表現します。ただし、このベクトル\(\boldsymbol{x}\)の第\(n\)成分\(x_{n}\)は商品\(n\)の消費量を表します。消費者が選択可能なすべてのベクトルからなる集合を消費集合\begin{equation*}X\subset \mathbb{R} ^{N}
\end{equation*}として表現します。
消費集合\(X\subset \mathbb{R} ^{N}\)上の選好関係\(\succsim \)が与えられたとき、消費ベクトル\(\boldsymbol{x}\in X\)以上に望ましい消費ベクトルからなる集合を、\begin{equation*}U\left( \boldsymbol{x}\right) =\left\{ y\in X\ |\ y\succsim \boldsymbol{x}\right\}
\end{equation*}と表記し、これを\(\boldsymbol{x}\)の上方位集合（upper contour set）や優位集合（superlevel set）などと呼びます。
選好関係\(\succsim \)を表す効用関数\(u:X\rightarrow \mathbb{R} \)が存在する場合には、消費ベクトル\(\boldsymbol{x}\in X\)の上方位集合を、\begin{equation*}U\left( \boldsymbol{x}\right) =\left\{ \boldsymbol{y}\in X\ |\ u\left(
\boldsymbol{y}\right) \geq u\left( \boldsymbol{x}\right) \right\}
\end{equation*}と表現することもできます。つまり、消費ベクトル\(\boldsymbol{x}\)の上方位集合とは\(u\left( \boldsymbol{x}\right) \)以上の効用をもたらす消費ベクトルからなる集合です。
それぞれの消費ベクトル\(\boldsymbol{x}\in X\)に対して、その上方位集合\(U\left( \boldsymbol{x}\right) \subset X\)を像として定める対応\begin{equation*}U:X\twoheadrightarrow X
\end{equation*}を上方位対応（upper contour correspondence）や優位対応（superlevel correspondence）などと呼びます。
\end{equation*}を満たすものとします。つまり、これは「商品の消費量は多ければ多いほどよい」という選好を表しています。消費ベクトル\(x\in \mathbb{R} _{+}\)を任意に選んだとき、その上方位集合は、\begin{eqnarray*}U\left( x\right) &=&\left\{ y\in \mathbb{R} _{+}\ |\ u\left( y\right) \geq u\left( x\right) \right\} \quad \because
U\left( x\right) \text{の定義} \\
&=&\left\{ y\in \mathbb{R} _{+}\ |\ y\geq x\right\} \quad \because u\text{の定義} \\
&=&[x,+\infty )
\end{eqnarray*}となります。
x_{1}>y_{1}\vee \left( x_{1}=y_{1}\wedge x_{2}\geq y_{2}\right)
\end{equation*}を満たすものとして定義されているものとします。つまり、この選好関係\(\succsim \)は「商品\(1\)の消費量がより多い消費ベクトルは無条件でより望ましく、商品\(1\)の消費量が等しい消費ベクトルどうしについては、商品\(2\)の消費量が多い方がより望ましい」という評価体系を反映しています。消費ベクトル\(\boldsymbol{x}=\left( x_{1},x_{2}\right)\in \mathbb{R} _{+}^{2}\)を任意に選んだとき、その上方位集合\(U\left( \boldsymbol{x}\right) \)は以下のように図示されます。
下方位集合
消費集合\(X\subset \mathbb{R} ^{N}\)上の選好関係\(\succsim \)が与えられたとき、消費ベクトル\(\boldsymbol{x}\in X\)以下に望ましい消費ベクトルからなる集合を、\begin{equation*}L\left( \boldsymbol{x}\right) =\left\{ \boldsymbol{y}\in X\ |\ \boldsymbol{x}\succsim \boldsymbol{y}\right\}
\end{equation*}と表記し、これを\(\boldsymbol{x}\)の下方位集合（lower contour set）や劣位集合（sublevel set）などと呼びます。
選好関係\(\succsim \)を表す効用関数\(u:X\rightarrow \mathbb{R} \)が存在する場合には、消費ベクトル\(\boldsymbol{x}\in X\)の下方位集合を、\begin{equation*}L\left( \boldsymbol{x}\right) =\left\{ \boldsymbol{y}\in X\ |\ u\left(
\boldsymbol{x}\right) \geq u\left( \boldsymbol{y}\right) \right\}
\end{equation*}と表現することもできます。つまり、消費ベクトル\(\boldsymbol{x}\)の下方位集合とは\(u\left( \boldsymbol{x}\right) \)以下の効用をもたらす消費ベクトルからなる集合です。
それぞれの消費ベクトル\(\boldsymbol{x}\in X\)に対して、その下方位集合\(L\left( \boldsymbol{x}\right) \subset X\)を像として定める対応\begin{equation*}L:X\twoheadrightarrow X
\end{equation*}を下方位対応（lower contour correspondence）や劣位対応（sublevel correspondence）などと呼びます。
\end{equation*}を満たすものとします。消費ベクトル\(x\in \mathbb{R} _{+}\)を任意に選んだとき、その下方位集合は、\begin{eqnarray*}L\left( x\right) &=&\left\{ y\in \mathbb{R} _{+}\ |\ u\left( x\right) \geq u\left( y\right) \right\} \quad \because
L\left( x\right) \text{の定義} \\
&=&\left\{ y\in \mathbb{R} _{+}\ |\ x\geq y\right\} \quad \because u\text{の定義} \\
&=&\left[ 0,x\right] \end{eqnarray*}となります。
x_{1}>y_{1}\vee \left( x_{1}=y_{1}\wedge x_{2}\geq y_{2}\right)
\end{equation*}を満たすものとして定義されているものとします。消費ベクトル\(\boldsymbol{x}=\left( x_{1},x_{2}\right) \in \mathbb{R} _{+}^{2}\)を任意に選んだとき、その下方位集合\(L\left( \boldsymbol{x}\right) \)は以下のように図示されます。
狭義上方位集合
消費集合\(X\subset \mathbb{R} ^{N}\)上の選好関係\(\succsim \)が与えられたとき、消費ベクトル\(\boldsymbol{x}\in X\)よりも望ましい消費ベクトルからなる集合を、\begin{equation*}U_{s}\left( \boldsymbol{x}\right) =\{\boldsymbol{y}\in X\ |\ \boldsymbol{y}\succ \boldsymbol{x}\}
\end{equation*}と表記し、これを\(\boldsymbol{x}\)の狭義上方位集合（strict upper contour set）や狭義優位集合（strict superlevel set）などと呼びます。
選好関係\(\succsim \)を表す効用関数\(u:X\rightarrow \mathbb{R} \)が存在する場合には、消費ベクトル\(\boldsymbol{x}\in X\)の狭義上方位集合を、\begin{equation*}U_{s}\left( \boldsymbol{x}\right) =\left\{ \boldsymbol{y}\in X\ |\ u\left(
\boldsymbol{y}\right) >u\left( \boldsymbol{x}\right) \right\}
\end{equation*}と表現することもできます。つまり、消費ベクトル\(\boldsymbol{x}\)の狭義上方位集合とは\(u\left( \boldsymbol{x}\right) \)よりも大きい効用をもたらす消費ベクトルからなる集合です。
それぞれの消費ベクトル\(\boldsymbol{x}\in X\)に対して、その狭義上方位集合\(U_{s}\left( \boldsymbol{x}\right) \subset X\)を像として定める対応\begin{equation*}U_{s}:X\twoheadrightarrow X
\end{equation*}を狭義上方位対応（strict upper contour correspondence）や狭義優位対応（strict superlevel correspondence）などと呼びます。
\end{equation*}を満たすものとします。消費ベクトル\(x\in \mathbb{R} _{+}\)を任意に選んだとき、その狭義上方位集合は、\begin{eqnarray*}U_{s}\left( x\right) &=&\left\{ y\in \mathbb{R} _{+}\ |\ u\left( y\right) >u\left( x\right) \right\} \quad \because
U_{s}\left( x\right) \text{の定義} \\
&=&\left\{ y\in \mathbb{R} _{+}\ |\ y>x\right\} \quad \because u\text{の定義} \\
&=&\left( x,+\infty \right)
\end{eqnarray*}となります。
x_{1}>y_{1}\vee \left( x_{1}=y_{1}\wedge x_{2}\geq y_{2}\right)
\end{equation*}を満たすものとして定義されているものとします。消費ベクトル\(\boldsymbol{x}=\left( x_{1},x_{2}\right) \in \mathbb{R} _{+}^{2}\)を任意に選んだとき、その狭義上方位集合\(U_{s}\left( \boldsymbol{x}\right) \)は以下のように図示されます。
狭義下方位集合
消費集合\(X\subset \mathbb{R} ^{N}\)上の選好関係\(\succsim \)が与えられたとき、消費ベクトル\(\boldsymbol{x}\in X\)よりも望ましくない消費ベクトルからなる集合を、\begin{equation*}L_{s}\left( \boldsymbol{x}\right) =\{\boldsymbol{y}\in X\ |\ \boldsymbol{x}\succ \boldsymbol{y}\}
\end{equation*}と表記し、これを\(\boldsymbol{x}\)の狭義下方位集合（strict lower contour set）や狭義劣位集合（strict sublevel set）などと呼びます。
選好関係\(\succsim \)を表す効用関数\(u:X\rightarrow \mathbb{R} \)が存在する場合には、消費ベクトル\(\boldsymbol{x}\in X\)の狭義下方位集合を、\begin{equation*}L_{s}\left( \boldsymbol{x}\right) =\{\boldsymbol{y}\in X\ |\ u\left(
\boldsymbol{x}\right) >u\left( \boldsymbol{y}\right) \}
\end{equation*}と表現することもできます。つまり、消費ベクトル\(\boldsymbol{x}\)の狭義下方位集合とは\(u\left( \boldsymbol{x}\right) \)よりも小さい効用をもたらす消費ベクトルからなる集合です。
それぞれの消費ベクトル\(\boldsymbol{x}\in X\)に対して、その狭義下方位集合\(L_{s}\left( \boldsymbol{x}\right) \subset X\)を像として定める対応\begin{equation*}L_{s}:X\twoheadrightarrow X
\end{equation*}を狭義下方位対応（strict lower contour correspondence）や狭義劣位対応（strict sublevel correspondence）などと呼びます。
\end{equation*}を満たすものとします。消費ベクトル\(x\in \mathbb{R} _{+}\)を任意に選んだとき、その狭義下方位集合は、\begin{eqnarray*}L_{s}\left( x\right) &=&\left\{ y\in \mathbb{R} _{+}\ |\ u\left( x\right) >u\left( y\right) \right\} \quad \because
L_{s}\left( x\right) \text{の定義} \\
&=&\left\{ y\in \mathbb{R} _{+}\ |\ x>y\right\} \quad \because u\text{の定義} \\
&=&[0,x)
\end{eqnarray*}となります。
x_{1}>y_{1}\vee \left( x_{1}=y_{1}\wedge x_{2}\geq y_{2}\right)
\end{equation*}を満たすものとして定義されているものとします。消費ベクトル\(\boldsymbol{x}=\left( x_{1},x_{2}\right) \in \mathbb{R} _{+}^{2}\)を任意に選んだとき、その狭義下方位集合\(L_{s}\left( \boldsymbol{x}\right) \)は以下のように図示されます。
無差別集合
費集合\(X\subset \mathbb{R} ^{N}\)上の選好関係\(\succsim \)が与えられたとき、消費ベクトル\(\boldsymbol{x}\in X\)と無差別な消費ベクトルからなる集合を、\begin{equation*}I\left( \boldsymbol{x}\right) =\{\boldsymbol{y}\in X\ |\ \boldsymbol{y}\sim
\boldsymbol{x}\}
\end{equation*}と表記し、これを\(\boldsymbol{x}\)の無差別集合（indifference set）や等位集合（level set）などと呼びます。
選好関係\(\succsim \)を表す効用関数\(u:X\rightarrow \mathbb{R} \)が存在する場合には、消費ベクトル\(\boldsymbol{x}\in X\)の無差別集合を、\begin{equation*}I\left( \boldsymbol{x}\right) =\{\boldsymbol{y}\in X\ |\ u\left( \boldsymbol{y}\right) =u\left( \boldsymbol{x}\right) \}
\end{equation*}と表現することもできます。つまり、消費ベクトル\(\boldsymbol{x}\)の無差別集合とは\(u\left( \boldsymbol{x}\right) \)と等しい効用をもたらす消費ベクトルからなる集合です。
それぞれの消費ベクトル\(\boldsymbol{x}\in X\)に対して、その無差別集合\(I\left( \boldsymbol{x}\right) \subset X\)を像として定める対応\begin{equation*}I:X\twoheadrightarrow X
\end{equation*}を無差別対応（indifference correspondence）や等位対応（level correspondence）などと呼びます。
\end{equation*}を満たすものとします。消費ベクトル\(x\in \mathbb{R} _{+}\)を任意に選んだとき、その無差別集合は、\begin{eqnarray*}I\left( x\right) &=&\left\{ y\in \mathbb{R} _{+}\ |\ u\left( x\right) =u\left( y\right) \right\} \quad \because I\left(
x\right) \text{の定義} \\
&=&\left\{ y\in \mathbb{R} _{+}\ |\ x=y\right\} \quad \because u\text{の定義} \\
&=&\left\{ x\right\}
\end{eqnarray*}となります。
x_{1}>y_{1}\vee \left( x_{1}=y_{1}\wedge x_{2}\geq y_{2}\right)
\end{equation*}を満たすものとして定義されているものとします。消費ベクトル\(\boldsymbol{x}=\left( x_{1},x_{2}\right) \in \mathbb{R} _{+}^{2}\)を任意に選んだとき、その無差別集合\(I\left( \boldsymbol{x}\right) \)は以下のように図示されます。
上方位集合・下方位集合・無差別集合の関係
消費ベクトル\(\boldsymbol{x}\)を任意に選んだとき、その無差別集合\(I\left( \boldsymbol{x}\right) \)は上方位集合\(U\left( \boldsymbol{x}\right) \)と下方位集合\(L\left( \boldsymbol{x}\right) \)の共通部分と一致します。
\boldsymbol{x}\right)
\end{equation*}が成り立つ。
消費ベクトル\(\boldsymbol{x}\)を任意に選んだとき、その狭義上方位集合\(U_{s}\left( \boldsymbol{x}\right) \)は上方位集合\(U\left( \boldsymbol{x}\right) \)と無差別集合\(I\left( \boldsymbol{x}\right) \)の差集合と一致します。また、狭義下方位集合\(L_{s}\left( \boldsymbol{x}\right) \)は下方位集合\(L\left( \boldsymbol{x}\right) \)と無差別集合\(I\left( \boldsymbol{x}\right) \)の差集合と一致します。
\left( b\right) \ L_{s}\left( \boldsymbol{x}\right) &=&L\left( \boldsymbol{x}\right) \backslash I\left( \boldsymbol{x}\right)
\end{eqnarray*}などが成り立つ。
演習問題
x_{1}\geq y_{1}-1
\end{equation*}を満たすものとして定義されています。以下の問いに答えてください。
- この選好関係\(\succsim \)は消費者のどのような選好を表しているでしょうか。説明してください。
- 消費ベクトル\(\left( 2,1\right) \)の上方位集合\(U\left( 2,1\right) \)を特定してください。
- 消費ベクトル\(\left( 2,1\right) \)の下方位集合\(L\left( 2,1\right) \)を特定してください。
- 消費ベクトル\(\left( 2,1\right) \)の無差別集合\(I\left( 2,1\right) \)を特定してください。
x_{1}\geq y_{1}-1\wedge x_{2}\leq y_{2}+1
\end{equation*}を満たすものとして定義されています。以下の問いに答えてください。
- この選好関係\(\succsim \)は消費者のどのような選好を表しているでしょうか。説明してください。
- 消費ベクトル\(\left( 2,1\right) \)の上方位集合\(U\left( 2,1\right) \)を特定してください。
- 消費ベクトル\(\left( 2,1\right) \)の下方位集合\(L\left( 2,1\right) \)を特定してください。
- 消費ベクトル\(\left( 2,1\right) \)の無差別集合\(I\left( 2,1\right) \)を特定してください。
\max \left\{ x_{1},x_{2}\right\} \geq \max \left\{ y_{1},y_{2}\right\}
\end{equation*}を満たすものとして定義されています。以下の問いに答えてください。
- この選好関係\(\succsim \)は消費者のどのような選好を表しているでしょうか。説明してください。
- 消費ベクトル\(\left( 2,1\right) \)の上方位集合\(U\left( 2,1\right) \)を特定してください。
- 消費ベクトル\(\left( 2,1\right) \)の下方位集合\(L\left( 2,1\right) \)を特定してください。
- 消費ベクトル\(\left( 2,1\right) \)の無差別集合\(I\left( 2,1\right) \)を特定してください。
\end{equation*}は\(X\)の分割であることを示してください。
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