確認テスト I（消費者理論）

消費集合\(X\)上の選好関係\(\succsim \)が与えられているものとします。以下の問いに答えてください（各10点）。

1. 消費集合\(X\)が有限集合であり、選好関係\(\succsim \)が完備性と推移性を満たす場合には、\(\succsim \)のもとで最も望ましい消費ベクトルと最も望ましくない消費ベクトルが\(X\)上に存在することを証明してください。
2. 選好関係\(\succsim \)が完備性と推移性を満たす場合には、\(\succsim \)から定義される無差別関係\(\sim \)が\(X\)上の同値関係であることを証明してください。
3. 問1および問2の結果を利用して、先の条件のもとでは、\(\succsim \)を表現する効用関数\(u:X\rightarrow \mathbb{R} \)が存在することを証明してください。

2財モデルにおいて、消費集合\(\mathbb{R} _{+}^{2}\)上の選好関係\(\succsim \)が任意の\(\left( x_{1},x_{2}\right) ,\left(y_{1},y_{2}\right) \in \mathbb{R} _{+}^{2}\)に対して、\begin{equation*}\left( x_{1},x_{2}\right) \succsim \left( y_{1},y_{2}\right) \Leftrightarrow
\left[ x_{1}>y_{1}\vee \left( x_{1}=y_{1}\wedge x_{2}\geq y_{2}\right) \right] \end{equation*}を満たすものとして定義されているものとします。このような選好を辞書式選好（lexicographic preference）と呼びます。つまり、2つの消費ベクトル\(\left( x_{1},x_{2}\right),\left( y_{1},y_{2}\right) \)の優劣を判定する際には、まず商品\(1\)の消費量を優先的に比較した上で、続いて、商品\(1\)の消費量が等しい場合には商品\(2\)の消費量を比較するということです。以下の問いに答えてください（各10点）。

1. \(N\)財モデルにおいて、消費集合が\(\mathbb{R} _{+}^{N}\)である状況を想定した上で、辞書式選好を定義してください。ただし、商品\(1\)の消費量を最優先し、商品\(2\)の消費量を次に優先し、などという形で定式化してください。
2. 消費集合\(\mathbb{R} _{+}^{N}\)上の辞書式選好\(\succsim \)が完備性を満たすことを証明してください。
3. 消費集合\(\mathbb{R} _{+}^{N}\)上の辞書式選好\(\succsim \)が推移性を満たすことを証明してください。
4. 消費集合\(\mathbb{R} _{+}^{N}\)上の辞書式選好\(\succsim \)が連続性を満たさないことを証明してください。

2財モデルにおいて消費集合が\(\mathbb{R} _{+}^{2}\)であるものとします。2つの商品を\(X,Y\)とそれぞれ呼び、それらの消費量を\(x,y\in \mathbb{R} _{+}\)で表記し、価格を\(p_{x},p_{y}\in \mathbb{R} _{++}\)で表記します。さらに、消費者の所得を\(w\in \mathbb{R} _{++}\)で表記します。効用関数\(u:\mathbb{R} _{+}^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの\(\left( x,y\right) \in \mathbb{R} _{+}^{2}\)に対して、\begin{equation*}u\left( x,y\right) =x^{3}y^{2}
\end{equation*}を定めるものとします。以下の問いに答えてください（各10点）。

1. 消費者が直面する効用最大化問題を定式化してください。
2. 効用最大化問題の解を、クーン・タッカー条件を用いて求めてください。
3. 2つの商品がともに上級財であることを示してください。