選好関係の連続性（連続な効用関数）

選好関係の連続性

\(N\)種類の商品が存在する経済を想定した上で、消費者が直面する個々の選択肢を\(N\)次元ベクトル\begin{equation*}\boldsymbol{x}=\left( x_{1},\cdots ,x_{N}\right) \in \mathbb{R} ^{N}
\end{equation*}として表現します。ただし、このベクトル\(\boldsymbol{x}\)の第\(n\)成分\(x_{n}\)は商品\(n\)の消費量を表します。消費者が選択可能なすべてのベクトルからなる集合を消費集合\begin{equation*}X\subset \mathbb{R} ^{N}
\end{equation*}として表現します。消費集合\(X\)に直面した消費者は、\(X\)の要素である消費ベクトルどうしを比較しながら自身にとって最も望ましい消費ベクトルを選択します。そこで、消費者が持つ好みの体系を\(X\)上の二項関係\(\succsim \)として定式化し、これを選好関係と呼びます。具体的には、2つの消費ベクトル\(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\in X\)を任意に選んだときに、\begin{equation*}\boldsymbol{x}\succsim \boldsymbol{y}\Leftrightarrow \text{消費者は}\boldsymbol{x}\text{を}\boldsymbol{y}\text{以上に好む}
\end{equation*}を満たすものとして\(\succsim \)を定義します。

消費集合\(X\subset \mathbb{R} ^{N}\)はユークリッド空間\(\mathbb{R} ^{N}\)の部分集合であるため、そこには位相が設定されています。そこで、\(X\)上の選好関係\(\succsim \)が与えられたとき、任意の消費ベクトル\(\boldsymbol{x}\in X\)の狭義上方位集合と狭義下方位集合\begin{eqnarray*}U_{s}\left( \boldsymbol{x}\right) &=&\left\{ \boldsymbol{y}\in X\ |\
\boldsymbol{y}\succ \boldsymbol{x}\right\} \\
L_{s}\left( \boldsymbol{x}\right) &=&\left\{ \boldsymbol{y}\in X\ |\
\boldsymbol{x}\succ \boldsymbol{y}\right\}
\end{eqnarray*}がともに\(X\)上の開集合であるならば、\(\succsim \)は連続性（continuity）を満たすと言います。

開集合について復習しながら\(\succsim \)の連続性の意味を確認します。まず、消費ベクトル\(\boldsymbol{a}\in X\)と正の実数\(\varepsilon >0\)が与えられたとき、点\(\boldsymbol{a}\)を中心とする半径\(\varepsilon \)の近傍とは\(\boldsymbol{a}\)からの距離が\(\varepsilon \)よりも近い場所にある\(X\)の点からなる集合であり、\begin{eqnarray*}N_{\varepsilon }\left( \boldsymbol{a}\right) &=&\left\{ \boldsymbol{x}\in
X\ |\ d\left( \boldsymbol{x},\boldsymbol{a}\right) <\varepsilon \right\} \\
&=&\left\{ \boldsymbol{x}\in X\ |\ \left\Vert \boldsymbol{x}-\boldsymbol{a}\right\Vert <\varepsilon \right\} \\
&=&\left\{ \boldsymbol{x}\in X\ |\ \sqrt{\sum_{i=1}^{N}\left(
x_{i}-a_{i}\right) ^{2}}<\varepsilon \right\}
\end{eqnarray*}と表記されます。ただし、\(d:X\times X\rightarrow \mathbb{R} \)はユークリッド距離関数です。

消費ベクトル\(\boldsymbol{x}\in X\)を任意に選び、その狭義上方位集合\begin{equation*}U_{s}\left( \boldsymbol{x}\right) =\left\{ \boldsymbol{y}\in X\ |\
\boldsymbol{y}\succ \boldsymbol{x}\right\}
\end{equation*}をとります。\(U_{s}\left( \boldsymbol{x}\right) \)が\(X\)上の開集合であることとは、その点\(\boldsymbol{a}\in U_{s}\left( \boldsymbol{x}\right) \)を任意に選んだときに、点\(\boldsymbol{a}\)を中心とする近傍\(N_{\varepsilon }\left( \boldsymbol{a}\right) \)の中に\(U_{s}\left( \boldsymbol{x}\right) \)の部分集合であるようなものが存在すること、すなわち、\begin{equation*}\forall \boldsymbol{a}\in U_{s}\left( \boldsymbol{x}\right) ,\ \exists
\varepsilon >0:N_{\varepsilon }\left( \boldsymbol{a}\right) \subset
U_{s}\left( \boldsymbol{x}\right)
\end{equation*}が成り立つことを意味します。

連続性の意味を深く理解するために、合理性を満たす一方で連続性を満たさない選好に関してどのようなことが起こり得るかを考えます。この場合、先の命題の否定に相当する以下の命題\begin{equation*}
\exists \boldsymbol{a}\in U_{s}\left( \boldsymbol{x}\right) ,\ \forall
\varepsilon >0:N_{\varepsilon }\left( \boldsymbol{a}\right) \cap X\backslash
U_{s}\left( \boldsymbol{x}\right) \not=\phi
\end{equation*}が成り立ちます。ただし、\(\succsim \)が完備性を満たす場合には排除性が成り立つため、任意の消費ベクトル\(\boldsymbol{y}\in X\)に対して、\begin{eqnarray*}\boldsymbol{y}\in X\backslash U_{s}\left( \boldsymbol{x}\right)
&\Leftrightarrow &\lnot \left( \boldsymbol{y}\succ \boldsymbol{x}\right)
\quad \because U_{s}\text{の定義} \\
&\Leftrightarrow &\boldsymbol{x}\succsim \boldsymbol{y}\quad \because
\succsim \text{の排除性} \\
&\Leftrightarrow &\boldsymbol{y}\in L\left( \boldsymbol{x}\right) \quad
\because L_{s}\text{の定義}
\end{eqnarray*}が成り立つことから、先の命題は、\begin{equation*}
\exists \boldsymbol{a}\in U_{s}\left( \boldsymbol{x}\right) ,\ \forall
\varepsilon >0:N_{\varepsilon }\left( \boldsymbol{a}\right) \cap L\left(
\boldsymbol{x}\right) \not=\phi
\end{equation*}と必要十分です。これは何を意味するでしょうか。まず、\(\boldsymbol{a}\in U_{s}\left( \boldsymbol{x}\right) \)が成り立つことは\(\boldsymbol{a}\succ \boldsymbol{x}\)が成り立つこと、すなわち\(\boldsymbol{a}\)が\(\boldsymbol{x}\)よりも望ましい消費ベクトルであることを意味します。先の命題において\(\varepsilon >0\)は任意であるため、限りなく小さい\(\varepsilon \)についても\(N_{\varepsilon }\left( \boldsymbol{a}\right) \)と\(L\left( \boldsymbol{x}\right) \)は交わります。つまり、\(\boldsymbol{a}\)と限りなく近い点（\(N_{\varepsilon }\left( \boldsymbol{a}\right) \)の要素）の中に\(\boldsymbol{x}\)と同等もしくはそれよりも望ましくない点（\(L\left( \boldsymbol{x}\right) \)の要素）が存在するということです。結論をまとめると、\(\succsim \)が連続性を満たさない場合には、何らかの消費ベクトル\(\boldsymbol{x}\)に関して、\(\boldsymbol{x}\)よりも望ましい消費ベクトルのいくらでも近いところに\(\boldsymbol{x}\)と同等もしくはそれより望ましくない消費ベクトルが存在するという事態が起こり得ます。消費者の嗜好が連続的に変化せず、消費ベクトルがわずかに変化しただけでも消費ベクトルに対する好みが大きく変化してしまうということです。逆に言えば、連続性の仮定は消費者の嗜好が連続的に変化することを保証します。

狭義下方位集合\(L_{s}\left( \boldsymbol{x}\right) \)についても同様の議論が成立します。

例（連続性を満たす選好関係）

2財モデルにおいて消費集合が\(\mathbb{R} _{+}^{2}\)であるとともに、与えられた選好関係\(\succsim \)のもとでは消費ベクトル\(\boldsymbol{x}\in \mathbb{R} _{+}^{2}\)の無差別曲線\(I\left( \boldsymbol{x}\right) \)が下図の点線として描かれるものとします。

狭義の上方位集合\(U_{s}\left( \boldsymbol{x}\right) \)はグレーの領域であるものとします。ただし境界に相当する無差別曲線\(I\left( \boldsymbol{x}\right) \)上の点は\(U_{s}\left( \boldsymbol{x}\right) \)に含まれません。上図の点\(\boldsymbol{a}\)のように\(U_{s}\left( \boldsymbol{x}\right) \)に含まれる点を任意に選ぶと、その点を中心とする近傍\(N_{\varepsilon }\left( b\right) \)の中に\(U_{s}\left( \boldsymbol{x}\right) \)の部分集合になるものが存在します（上図において点線で描かれた円の内部の領域）。\(U_{s}\left( \boldsymbol{x}\right) \)の任意の点\(\boldsymbol{a}\)について同様の議論が成立するため\(U_{s}\left( \boldsymbol{x}\right) \)は\(\mathbb{R} _{+}^{2}\)上の開集合です。狭義の下方位集合\(L_{s}\left( \boldsymbol{x}\right) \)についても同様です。したがってこの選好関係\(\succsim \)は連続性の仮定と整合的です。

例（連続性を満たさない選好関係）

2財モデルにおいて消費集合が\(\mathbb{R} _{+}^{2}\)であり、そこでの選好関係\(\succsim \)が任意の消費ベクトル\(\left( x_{1},x_{2}\right),\left( y_{1},y_{2}\right) \in \mathbb{R} _{+}^{2}\)に対して、\begin{equation*}\left( x_{1},x_{2}\right) \succ \left( y_{1},y_{2}\right) \Leftrightarrow
x_{1}>y_{1}\vee \left( x_{1}=y_{1}\wedge x_{2}>y_{2}\right)
\end{equation*}を満たすものとして定義されているものとします。この場合、下図の消費ベクトル\(\boldsymbol{x}\in X\)を選んだとき、狭義の上方位集合\(U_{s}\left( \boldsymbol{x}\right) \)はグレーの領域として描かれます。ただし、実線部分は\(U_{s}\left( \boldsymbol{x}\right) \)に含まれる一方で点線部分は\(U_{s}\left( \boldsymbol{x}\right) \)に含まれません。

上図のような点\(\boldsymbol{a}\in U_{s}\left( \boldsymbol{x}\right) \)を選べば、その任意の近傍\(N_{\varepsilon}\left( \boldsymbol{a}\right) \)は下方位集合\(L\left( \boldsymbol{x}\right) \)と交わります。つまり、点\(\boldsymbol{a}\)は\(U_{s}\left( \boldsymbol{x}\right) \)の要素であるため\(\boldsymbol{x}\)より望ましい消費ベクトルである一方で、そのいくらでも近い場所に\(L\left( \boldsymbol{x}\right) \)の要素である消費ベクトル、すなわち\(\boldsymbol{x}\)と同等もしくはそれより望ましくない消費ベクトルが存在します。したがって、この選好関係\(\succsim \)は連続性を満たしません。

閉集合を用いた連続選好の定義

閉集合の定義を踏まえると、選好関係\(\succsim \)が連続性を満たすことを以下のように表現することもできます。

閉集合は点列を用いて定義することもできるため、先の命題の意味を点列を用いて再確認します。消費ベクトル\(\boldsymbol{x}\in X\)を任意に選び、その上方位集合\(U\left( \boldsymbol{x}\right) \)をとります。その上で、\(U\left( \boldsymbol{x}\right) \)の点を項とする収束点列\(\{\boldsymbol{x}_{v}\}\)を任意に選びます。つまり、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \forall v\in \mathbb{N} :\boldsymbol{x}_{v}\in U\left( \boldsymbol{x}\right) \\
&&\left( b\right) \ \lim_{v\rightarrow +\infty }\boldsymbol{x}_{v}\in X
\end{eqnarray*}をともに満たす点列\(\{\boldsymbol{x}_{v}\}\)を任意に選ぶということです。一般には、このような収束点列の極限は\(U\left( \boldsymbol{x}\right) \)の点であるとは限りませんが、このような収束点列の極限が\(U\left( \boldsymbol{x}\right) \)の点であることが保証されることは、すなわち、\begin{equation*}\left( c\right) \ \lim_{v\rightarrow +\infty }\boldsymbol{x}_{v}\in U\left(
\boldsymbol{x}\right)
\end{equation*}が成り立つことは、\(U\left( \boldsymbol{x}\right) \)が\(X\)上の閉集合であるための必要十分条件です。下方位集合\(L\left( \boldsymbol{x}\right) \)が\(X\)上の閉集合であることの定義も同様です。

連続性の意味を深く理解するために、合理性を満たす一方で連続性を満たさない選好に関してどのようなことが起こり得るかを考えます。このとき、\(\left( a\right) ,\left( b\right) \)を満たす一方で\(\left( c\right) \)を満たさない点列\(\{\boldsymbol{x}_{v}\}\)が存在するはずです。上方位集合\(U\left( \boldsymbol{x}\right) \)の定義より、点列\(\{\boldsymbol{x}_{v}\}\)が\(\left( a\right) \)を満たすということは、\(\{\boldsymbol{x}_{v}\}\)のすべての要素は\(\boldsymbol{x}\)以上に望ましい消費ベクトルであることを意味します。\(\left( b\right) \)より\(\{\boldsymbol{x}_{v}\}\)は収束するため、その極限\(\lim\limits_{v\rightarrow +\infty }\boldsymbol{x}_{v}\)に相当する消費ベクトルのいくらでも近いところに\(\{\boldsymbol{x}_{v}\}\)の点が無数に存在します。言い換えると、消費ベクトル\(\lim\limits_{v\rightarrow+\infty }\boldsymbol{x}_{v}\)のいくらでも近い所に\(\boldsymbol{x}\)以上に望ましい消費ベクトルが無数に存在するということです。一方、\(\left( c\right) \)が成り立たないことは、消費ベクトル\(\lim\limits_{v\rightarrow +\infty }\boldsymbol{x}_{v}\)が\(\boldsymbol{x}\)以上に望ましい消費ベクトルではないこと、すなわち\(\lnot \left( \lim\limits_{v\rightarrow +\infty }\boldsymbol{x}_{v}\succsim \boldsymbol{x}\right) \)が成り立つことを意味しますが、\(\succsim \)が合理性を満たす場合には排除性が成り立つため、これは\(\boldsymbol{x}\succ \lim\limits_{v\rightarrow +\infty }\boldsymbol{x}_{v}\)が成り立つことと必要十分です。つまり\(\lim\limits_{v\rightarrow +\infty }\boldsymbol{x}_{v}\)は\(\boldsymbol{x}\)よりも望ましくない消費ベクトルです。結論をまとめると、選好が連続性を満たさない場合には、消費ベクトル\(\boldsymbol{x}\)を選んだとき、\(\boldsymbol{x}\)よりも望ましくない消費ベクトル\(\lim\limits_{v\rightarrow +\infty }\boldsymbol{x}_{v}\)のいくらでも近い所に\(\boldsymbol{x}\)以上に望ましい消費ベクトルが無数に存在するという事態が起こり得ます。消費者の嗜好が連続的に変化せず、消費ベクトルがわずかに変化しただけでも消費ベクトルに対する好みが大きく変化してしまうということです。逆に言えば、連続性の仮定は消費者の嗜好が連続的に変化することを保証します。

下方位集合\(L\left( \boldsymbol{x}\right) \)についても同様の議論が成立します。

点列を用いた連続選好の定義

選好関係の連続性は点列を使って以下のように表現することもできます。

選好関係\(\succsim \)が連続性を満たさない場合には、先の命題より、\begin{equation}\forall v\in \mathbb{N} :\boldsymbol{x}_{v}\succsim \boldsymbol{y}_{v} \quad \cdots (1)
\end{equation}を満たす\(X\)上の収束点列\(\{\boldsymbol{x}_{v}\},\{\boldsymbol{y}_{v}\}\)の中に、\begin{equation}\lim\limits_{v\rightarrow +\infty }\boldsymbol{y}_{v}\succ
\lim\limits_{v\rightarrow +\infty }\boldsymbol{x}_{v} \quad \cdots (2)
\end{equation}を満たすものが存在します。消費ベクトル\(\lim\limits_{v\rightarrow +\infty }\boldsymbol{x}_{v}\in X\)は点列\(\{\boldsymbol{x}_{v}\}\)の極限であり、消費ベクトル\(\lim\limits_{v\rightarrow +\infty }\boldsymbol{y}_{v}\in X\)は点列\(\{\boldsymbol{y}_{v}\}\)の極限であるため、十分大きい\(v\)について、\(\boldsymbol{x}_{v}\)は\(\lim\limits_{v\rightarrow +\infty }\boldsymbol{x}_{v}\)に限りなく近く、\(\boldsymbol{y}_{v}\)は\(\lim\limits_{v\rightarrow +\infty }\boldsymbol{x}_{v}\)は限りなく近くなります。つまり、十分大きい\(v\)について、\(\left( 1\right) \)より、\(\boldsymbol{x}_{v}\)は\(\boldsymbol{y}_{v}\)以上であるにも関わらず、\(\left( 2\right) \)より、それらに限りなく近い\(\lim\limits_{v\rightarrow +\infty }\boldsymbol{x}_{v}\)と\(\lim\limits_{v\rightarrow +\infty }\boldsymbol{x}_{v}\)について選好が逆転し、\(\lim\limits_{v\rightarrow +\infty }\boldsymbol{y}_{v}\)が\(\lim\limits_{v\rightarrow +\infty }\boldsymbol{x}_{v}\)よりも望ましいということになってしまいます。つまり、消費ベクトルがわずかに変化しただけでも消費ベクトルに対する好みが大きく変化してしまうということです。逆に言えば、連続性の仮定は消費者の嗜好が連続的に変化することを保証します。

連続な効用関数

消費集合\(X\subset \mathbb{R} ^{N}\)上に定義された効用関数\(u:X\rightarrow \mathbb{R} \)は多変数関数であるため、その連続性を議論できます。具体的には、効用関数\(u\)が定義上の点\(\boldsymbol{a}\in X\)において連続であることとは、\(\boldsymbol{x}\rightarrow \boldsymbol{a}\)の場合に\(u\left( \boldsymbol{x}\right) \)が有限な実数へ収束するとともに、そこでの極限が\(u\left( \boldsymbol{a}\right) \)と一致すること、すなわち、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \lim_{\boldsymbol{x}\rightarrow \boldsymbol{a}}u\left(
\boldsymbol{x}\right) \in \mathbb{R} \\
&&\left( b\right) \ \lim_{\boldsymbol{x}\rightarrow \boldsymbol{a}}u\left(
\boldsymbol{x}\right) =u\left( \boldsymbol{a}\right)
\end{eqnarray*}がともに成り立つことを意味します。

効用関数\(u:X\rightarrow \mathbb{R} \)が点\(\boldsymbol{a}\in X\)において連続であることをイプシロン・デルタ論法を用いて表現すると、\begin{equation*}\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall \boldsymbol{x}\in X:\left[ d\left( \boldsymbol{x},\boldsymbol{a}\right) <\delta \Rightarrow
\left\vert u\left( \boldsymbol{x}\right) -u\left( \boldsymbol{a}\right)
\right\vert <\varepsilon \right] \end{equation*}となります。ただし、\(d\left( \boldsymbol{x},\boldsymbol{a}\right) \)は2つの点\(\boldsymbol{x},\boldsymbol{a}\)の間のユークリッド距離であり、\begin{eqnarray*}d\left( \boldsymbol{x},\boldsymbol{a}\right) &=&\left\Vert \boldsymbol{x}-\boldsymbol{a}\right\Vert \\
&=&\sqrt{\sum_{i=1}^{N}\left( x_{i}-a_{i}\right) ^{2}}
\end{eqnarray*}です。

点列を用いて効用関数\(u:X\rightarrow \mathbb{R} \)の連続性を表現することもできます。つまり、点\(\boldsymbol{a}\in X\)に収束する\(X\)上の点列\(\left\{ \boldsymbol{x}_{v}\right\} \)を任意に選んだときに、その点列と効用関数\(u\)を用いて定義される数列\(\left\{ u\left( \boldsymbol{x}_{v}\right) \right\} \)が点\(u\left( \boldsymbol{a}\right) \in \mathbb{R} \)へ収束することは、\(u\)が点\(\boldsymbol{a}\)において連続であるための必要十分条件です。

消費集合\(X\subset \mathbb{R} ^{N}\)上に定義された効用関数\(u:X\rightarrow \mathbb{R} \)が定義域\(X\)上の任意の点において連続である場合には、\(u\)は連続（continuous）であるといいます。

連続な選好と連続な効用関数の関係

選好の連続性と効用関数の連続性の間にはどのような関係が成立するのでしょうか。まず、選好関係\(\succsim \)を表現する効用関数\(u\)が存在するとともにそれが連続関数である場合、\(u\)によって表される\(\succsim \)が連続性を満たすことが保証されます。

選好関係\(\succsim \)を表現する効用関数\(u\)が存在するとともにそれが連続関数である場合、\(\succsim \)は必ず連続性を満たすことが明らかになりました。言い換えると、連続性を満たさない選好関係が連続な効用関数によって表現されるような状況は起こり得ません。

その一方で、連続性を満たす選好関係を表現する効用関数は連続関数であるとは限りません。連続性を満たす選好関係が連続ではない効用関数によって表現されるという事態は起こり得るということです。実際、連続性を満たす選好関係\(\succsim \)が連続な効用関数\(u\)によって表現されるとき、その効用関数を任意の形で正の単調変換を行って得られる関数もまた同じ選好\(\succsim \)を表す効用関数であるため、先の効用関数\(u\)から不連続な関数\(u^{\prime }\)を作り出すような正の単調変換を想定した場合にも、\(u^{\prime }\)は\(\succsim \)を表現する効用関数となります。

連続性を満たさない選好関係についてはどのようなことが言えるでしょうか。連続性を満たさない選好関係\(\succsim \)が何らかの効用関数\(u\)によって表現されることは起こり得ます。ただしその場合、その効用関数\(u\)は連続関数ではありません。なぜなら、連続な効用関数によって表現される選好関係は連続性を満たすこととなり、これは\(\succsim \)が連続ではないことと矛盾するからです。連続性を満たさない選好関係を表現する効用関数は連続関数ではありません。

以上の議論は選好関係を表現する効用関数が存在することを前提とした上でのものですが、そもそも、選好関係の連続性から効用関数の存在について何らかのことを結論できるのでしょうか。選好関係が連続性を満たす場合、その選好関係を表現する効用関数は存在するのでしょうか。効用関数が存在するための条件については場を改めて詳しく解説します。

演習問題