コブ・ダグラス型効用関数
消費集合\(\mathbb{R} _{+}^{N}\)上に定義された効用関数\(u:\mathbb{R} _{+}^{N}\rightarrow \mathbb{R} \)がそれぞれの消費ベクトル\(\boldsymbol{x}\in \mathbb{R} _{+}^{N}\)に対して定める効用が、\begin{equation*}u\left( \boldsymbol{x}\right) =kx_{1}^{\alpha _{1}}x_{2}^{\alpha _{2}}\cdots
x_{N}^{\alpha _{N}}
\end{equation*}であるものとします。ただし、\(k,\alpha _{1},\cdots ,\alpha_{N}\in \mathbb{R} \)は定数であり、以下の条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ k>0 \\
&&\left( b\right) \ \alpha _{n}>0\ \left( n=1,\cdots ,N\right)
\end{eqnarray*}を満たすものとします。このような効用関数\(u\)をコブ・ダグラス型効用関数（Cobb-Douglas utility function）と呼びます。
\end{equation*}を定めます。ただし、\(k>0\)かつ\(\alpha _{1}>0\)かつ\(\alpha _{2}>0\)です。例えば、\(k=1\)かつ\(\alpha _{1}=\alpha _{2}=\frac{1}{2}\)であれば、\begin{equation*}u\left( x_{1},x_{2}\right) =x_{1}^{\frac{1}{2}}x_{2}^{\frac{1}{2}}
\end{equation*}であり、\(k=2\)かつ\(\alpha _{1}=\frac{1}{2}\)かつ\(\alpha _{2}=\frac{1}{3}\)であれば、\begin{equation*}u\left( x_{1},x_{2}\right) =2x_{1}^{\frac{1}{2}}x_{2}^{\frac{1}{3}}
\end{equation*}となります。
選好関係を表す効用関数が存在する場合、その選好関係は完備性と推移性を満たします。したがって、消費者の選好がコブ・ダグラス型効用関数によって表される場合、その人の選好関係は完備性と推移性を満たします。
コブ・ダグラス型効用関数の連続性
コブ・ダグラス型効用関数は連続関数です。
x_{N}^{\alpha _{N}}
\end{equation*}を定める。ただし、\(k>0\)かつ\(\alpha _{n}>0\ \left( n=1,\cdots ,N\right) \)である。\(u\)は\(\mathbb{R} _{+}^{N}\)上において連続である。
\end{equation*}を定めるものとします。この\(u\)はコブ・ダグラス型効用関数であるため、先の命題より\(u\)は\(\mathbb{R} _{+}^{2}\)上で連続です。
選好関係を表す連続な効用関数が存在する場合、その選好は連続性を満たします。先の命題よりコブ・ダグラス型効用関数は連続であるため、消費者の選好がコブ・ダグラス型効用関数によって表される場合、その人の選好関係は連続性を満たします。
コブ・ダグラス型効用関数の連続微分可能性
コブ・ダグラス型効用関数は定義域の内部において連続微分可能です。
x_{N}^{\alpha _{N}}
\end{equation*}を定める。ただし、\(k>0\)かつ\(\alpha _{n}>0\ \left( n=1,\cdots ,N\right) \)である。\(u\)は\(\mathbb{R} _{++}^{N}\)上において\(C^{1}\)級である。
\end{equation*}を定めるものとします。この\(u\)はコブ・ダグラス型効用関数であるため、先の命題より\(u\)は\(\mathbb{R} _{++}^{2}\)上で\(C^{1}\)級です。変数\(x_{1}\)に関する偏導関数\(\frac{\partial u}{\partial x_{1}}:\mathbb{R} _{++}^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)は、\begin{equation*}\frac{\partial u\left( x_{1},x_{2}\right) }{\partial x_{1}}=\frac{1}{2}x_{1}^{-\frac{1}{2}}x_{2}^{\frac{1}{2}}
\end{equation*}であり、変数\(x_{2}\)に関する偏導関数\(\frac{\partial u}{\partial x_{2}}:\mathbb{R} _{++}^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)は、\begin{equation*}\frac{\partial u\left( x_{1},x_{2}\right) }{\partial x_{2}}=\frac{1}{2}x_{1}^{\frac{1}{2}}x_{2}^{-\frac{1}{2}}
\end{equation*}ですが、これらは\(\mathbb{R} _{++}^{2}\)上で連続です。
コブ・ダグラス型効用関数のもとでの限界効用
コブ・ダグラス型効用関数は偏微分可能であることが明らかになりました。したがって偏微分を用いて限界効用を表現できます。
x_{N}^{\alpha _{N}}
\end{equation*}を定める。ただし、\(k>0\)かつ\(\alpha _{n}>0\ \left( n=1,\cdots ,N\right) \)である。商品\(n\in \left\{ 1,\cdots ,N\right\} \)および消費ベクトル\(\boldsymbol{x}\in \mathbb{R} _{++}^{N}\)をそれぞれ任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}MU_{n}\left( \boldsymbol{x}\right) &=&\frac{\alpha _{n}}{x_{n}}kx_{1}^{\alpha _{1}}\cdots x_{N}^{\alpha _{N}} \\
&=&\frac{\alpha _{n}}{x_{n}}u\left( \boldsymbol{x}\right)
\end{eqnarray*}が成り立つ。
\end{equation*}を定めるものとします。この\(u\)はコブ・ダグラス型効用関数です。定義域の内点\(\left(x_{1},x_{2}\right) \in \mathbb{R} _{++}^{2}\)を任意に選んだとき、そこでのそれぞれの商品の限界効用は、\begin{eqnarray*}MU_{1}\left( x_{1},x_{2}\right) &=&\frac{1}{2}x_{1}^{-\frac{1}{2}}x_{2}^{\frac{1}{2}} \\
MU_{2}\left( x_{1},x_{2}\right) &=&\frac{1}{2}x_{1}^{\frac{1}{2}}x_{2}^{-\frac{1}{2}}
\end{eqnarray*}となります。
コブ・ダグラス型効用関数のもとでの限界代替率
コブ・ダグラス型効用関数のもとでの限界代替率は以下の通りです。
x_{N}^{\alpha _{N}}
\end{equation*}を定める。ただし、\(k>0\)かつ\(\alpha _{n}>0\ \left( n=1,\cdots ,N\right) \)である。2つの商品\(i,j\in \left\{ 1,\cdots,N\right\} \)および消費ベクトル\(\boldsymbol{x}\in \mathbb{R} _{++}^{N}\)をそれぞれ任意に選んだとき、\begin{equation*}MRS_{ij}\left( \boldsymbol{x}\right) =\frac{\alpha _{i}}{\alpha _{j}}\cdot
\frac{x_{j}}{x_{i}}
\end{equation*}が成り立つ。
\end{equation*}を定めるものとします。この\(u\)はコブ・ダグラス型効用関数です。定義域の内点\(\left(x_{1},x_{2}\right) \in \mathbb{R} _{++}^{2}\)を任意に選んだとき、先の命題より、そこでの商品\(1\)の商品\(2\)で測った限界代替率は、\begin{eqnarray*}MRS_{12}\left( x_{1},x_{2}\right) &=&\frac{\frac{1}{3}}{\frac{2}{3}}\frac{x_{2}}{x_{1}} \\
&=&\frac{x_{2}}{2x_{1}}
\end{eqnarray*}となります。その一方で、限界代替率の定義にもとづいて計算すると、\begin{eqnarray*}
MRS_{12}\left( x_{1},x_{2}\right) &=&\frac{MU_{1}\left( x_{1},x_{2}\right)
}{MU_{2}\left( x_{1},x_{2}\right) }\quad \because \text{限界代替率の定義} \\
&=&\frac{\frac{\partial u\left( x_{1},x_{2}\right) }{\partial x_{1}}}{\frac{\partial u\left( x_{1},x_{2}\right) }{\partial x_{2}}}\quad \because \text{限界効用の定義} \\
&=&\frac{\frac{1}{3}x_{1}^{-\frac{2}{3}}x_{2}^{\frac{2}{3}}}{\frac{2}{3}x_{1}^{\frac{1}{3}}x_{2}^{-\frac{1}{3}}}\quad \because u\text{の定義} \\
&=&\frac{\frac{1}{3}x_{2}}{\frac{2}{3}x_{1}} \\
&=&\frac{x_{2}}{2x_{1}}
\end{eqnarray*}となるため、先と同様の結果が得られました。
コブ・ダグラス型効用関数の単調性
コブ・ダグラス型効用関数\(u\)は単調増加関数です。つまり、\begin{equation*}\forall \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\in \mathbb{R} _{+}^{N}:\left[ \boldsymbol{y}\geq \boldsymbol{x}\Rightarrow u\left(
\boldsymbol{y}\right) \geq u\left( \boldsymbol{x}\right) \right]
\end{equation*}が成り立ちます。ただし、左側の\(\geq \)は\(\mathbb{R} ^{N}\)上の標準的順序であり、任意の\(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\in \mathbb{R} _{+}^{N}\)に対して、\begin{equation*}\boldsymbol{y}\geq \boldsymbol{x}\Leftrightarrow \forall n\in \left\{
1,\cdots ,N\right\} :y_{n}\geq x_{n}
\end{equation*}を満たすものとして定義されます。
以上の事実は、消費ベクトル\(\boldsymbol{x}\)を任意に選んだとき、そこからすべての商品の消費量を減らさない場合には、消費者が得られる効用も低下しないことを意味します。
x_{N}^{\alpha _{N}}
\end{equation*}を定める。ただし、\(k>0\)かつ\(\alpha _{n}>0\ \left( n=1,\cdots ,N\right) \)である。\(u\)は\(\mathbb{R} _{+}^{N}\)上において単調増加関数である。
コブ・ダグラス型効用関数は狭義単調増加ではありません。以下の例より明らかです。
x_{N}^{\alpha _{N}}
\end{equation*}を定めます。以下の2つの消費ベクトル\begin{eqnarray*}
\left( 0,1,1,\cdots ,1\right) &\in &\mathbb{R} _{+}^{N} \\
\left( 0,2,1,\cdots ,1\right) &\in &\mathbb{R} _{+}^{N}
\end{eqnarray*}に注目すると、\begin{equation*}
\left( 0,2,1,\cdots ,1\right) >\left( 0,1,1,\cdots ,1\right)
\end{equation*}が成り立つ一方で、\begin{eqnarray*}
u\left( 0,1,1,\cdots ,1\right) &=&k0^{\alpha _{1}}1^{\alpha _{2}}1^{\alpha
_{3}}\cdots 1^{\alpha _{N}}\quad \because u\text{の定義} \\
&=&0 \\
&=&k0^{\alpha _{1}}2^{\alpha _{2}}1^{\alpha _{3}}\cdots 1^{\alpha _{N}} \\
&=&u\left( 0,2,1,\cdots ,1\right) \quad \because u\text{の定義}
\end{eqnarray*}となり、したがって、\begin{equation*}
u\left( 0,2,1,\cdots ,1\right) >u\left( 0,1,1,\cdots ,1\right)
\end{equation*}は成り立ちません。ゆえに\(u\)は\(\mathbb{R} _{+}^{N}\)上で狭義単調増加ではありません。
コブ・ダグラス型効用関数\(u\)の定義域を\(\mathbb{R} _{++}^{N}\)に制限すれば、すなわち任意の商品の消費量が正の実数を値としてとる状況を想定すれば、\(u\)は狭義単調増加関数になります。つまり、\begin{equation*}\forall \boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\in \mathbb{R} _{++}^{N}:\left[ \boldsymbol{y}>\boldsymbol{x}\Rightarrow u\left(
\boldsymbol{y}\right) >u\left( \boldsymbol{x}\right) \right]
\end{equation*}が成り立つということです。ただし、左側の\(>\)は\(\mathbb{R} _{++}^{N}\)上の二項関係であり、任意の\(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\in \mathbb{R} _{++}^{N}\)について、\begin{equation*}\boldsymbol{y}>\boldsymbol{x}\Leftrightarrow \left( \forall n\in \left\{
1,\cdots ,N\right\} :y_{n}\geq x_{n}\right) \wedge \left( \exists n\in
\left\{ 1,\cdots ,N\right\} :y_{n}>x_{n}\right)
\end{equation*}を満たすものとして定義されます。
以上の事実は、\(\mathbb{R} _{++}^{N}\)上の消費ベクトル\(\boldsymbol{x}\)を任意に選んだとき、そこからすべての商品の消費量を減らさず、なおかつ少なくとも1つの商品の消費量を増やせば、消費者が得る効用が増加することを意味します。
x_{N}^{\alpha _{N}}
\end{equation*}を定める。ただし、\(k>0\)かつ\(\alpha _{n}>0\ \left( n=1,\cdots ,N\right) \)である。\(u\)は\(\mathbb{R} _{++}^{N}\)上において狭義単調増加関数である。
狭義単調増加な関数は局所非飽和性を満たすため、先の命題より、消費集合\(\mathbb{R} _{+}^{N}\)の内部\(\mathbb{R} _{++}^{N}\)上に定義されたコブ・ダグラス型効用関数は局所非飽和性を満たします。つまり、\begin{equation*}\forall \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} _{++}^{N},\ \forall \varepsilon >0,\ \exists \boldsymbol{y}\in \mathbb{R} _{++}^{N}\cap N_{\varepsilon }\left( \boldsymbol{x}\right) :u\left(
\boldsymbol{y}\right) >u\left( \boldsymbol{x}\right)
\end{equation*}が成り立ちます。ただし、\(N_{\varepsilon }\left( \boldsymbol{x}\right) \)は中心が\(\boldsymbol{x}\)であり半径が\(\varepsilon \)の開近傍です。
以上の事実は、\(\mathbb{R} _{++}^{N}\)上の消費ベクトル\(\boldsymbol{x}\)を任意に選んだとき、それにいくらでも近い所に\(\boldsymbol{x}\)よりも大きい効用をもたらす消費ベクトル\(\boldsymbol{y}\)が必ず存在することを意味します。
x_{N}^{\alpha _{N}}
\end{equation*}を定める。ただし、\(k>0\)かつ\(\alpha _{n}>0\ \left( n=1,\cdots ,N\right) \)である。\(u\)は\(\mathbb{R} _{++}^{N}\)上において局所非飽和性を満たす。
コブ・ダグラス型効用関数の同次性
コブ・ダグラス型効用関数\(u\)は\(\alpha _{1}+\cdots +\alpha _{N}\)次同次関数です。つまり、\begin{equation*}\forall \boldsymbol{x}\in \mathbb{R} _{+}^{N},\ \forall \lambda \in \mathbb{R} _{++}:u\left( \lambda \boldsymbol{x}\right) =\lambda ^{\alpha _{1}+\cdots
+\alpha _{N}}u\left( \boldsymbol{x}\right)
\end{equation*}が成り立ちます。
以上の事実は、消費ベクトル\(\boldsymbol{x}\)を任意に選んだとき、そこを出発点にすべての商品の消費量を\(\lambda >0\)倍すれば、消費者が得る効用の水準が\(\lambda ^{\alpha_{1}+\cdots +\alpha _{N}}\)倍になることを意味します。
x_{N}^{\alpha _{N}}
\end{equation*}を定める。ただし、\(k>0\)かつ\(\alpha _{n}>0\ \left( n=1,\cdots ,N\right) \)である。\(u\)は\(\alpha _{1}+\cdots +\alpha _{N}\)次同次関数である。
x_{N}^{\alpha _{N}} \quad \cdots (1)
\end{equation}を定めます。ただし、\(k>0\)かつ\(\alpha _{n}>0\ \left( n=1,\cdots ,N\right) \)です。特に、\begin{equation}\alpha _{1}+\cdots +\alpha _{N}=1 \quad \cdots (2)
\end{equation}が成り立つ場合、先の命題より、\(u\)は1次同次関数になります。消費ベクトル\(\boldsymbol{x}\)を任意に選んだとき、そこを出発点にすべての商品の消費量を\(\lambda >0\)倍すれば、消費者が得る効用の水準もまた\(\lambda \)倍になるということです。実際、\(\left( 2\right) \)のもとでは、\begin{eqnarray*}u\left( \lambda \boldsymbol{x}\right) &=&k\left( \lambda x_{1}\right)
^{\alpha _{1}}\left( \lambda x_{2}\right) ^{\alpha _{2}}\cdots \left(
\lambda x_{N}\right) ^{\alpha _{N}}\quad \because \left( 1\right) \\
&=&k\lambda ^{\alpha _{1}+\alpha _{2}+\cdots +\alpha _{N}}x_{1}^{\alpha
_{1}}x_{2}^{\alpha _{2}}\cdots x_{N}^{\alpha _{N}} \\
&=&k\lambda x_{1}^{\alpha _{1}}x_{2}^{\alpha _{2}}\cdots x_{N}^{\alpha
_{N}}\quad \because \left( 2\right) \\
&=&\lambda u\left( \boldsymbol{x}\right) \quad \because \left( 1\right)
\end{eqnarray*}が成り立ちます。
コブ・ダグラス型効用関数の対数変換
多くの場合、コブ・ダグラス効用関数を扱う際には分析を容易にするために自然対数関数との合成関数を利用します。具体的には以下の通りです。
コブ・ダグラス型効用関数\(u:\mathbb{R} _{+}^{N}\rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(\boldsymbol{x}\in \mathbb{R} _{+}^{N}\)に対して、\begin{equation*}u\left( \boldsymbol{x}\right) =kx_{1}^{\alpha _{1}}\cdots x_{N}^{\alpha _{N}}
\end{equation*}を定めますが、消費集合の内点\(\boldsymbol{x}\in \mathbb{R} _{++}^{N}\)を任意に選んだとき、\begin{equation*}u\left( \boldsymbol{x}\right) >0
\end{equation*}が成り立つため、\(u\)の定義域を内部に制限して\(u:\mathbb{R} _{++}^{N}\rightarrow \mathbb{R} \)とすれば、\(u\)の値域は、\begin{equation*}u\left( \mathbb{R} _{++}^{N}\right) =\mathbb{R} _{++}
\end{equation*}となります。すると自然対数関数\(\ln \left( x\right) :\mathbb{R} _{++}\rightarrow \mathbb{R} \)との合成関数\(\ln \left( u\left( \boldsymbol{x}\right) \right) :\mathbb{R} _{++}^{N}\rightarrow \mathbb{R} \)が定義可能であり、これはそれぞれの\(\boldsymbol{x}\in \mathbb{R} _{++}^{N}\)に対して、\begin{eqnarray*}\ln \left( u\left( \boldsymbol{x}\right) \right) &=&\ln \left(
kx_{1}^{\alpha _{1}}\cdots x_{N}^{\alpha _{N}}\right) \quad \because u\text{の定義} \\
&=&\ln \left( k\right) +\ln \left( x_{1}^{\alpha _{1}}\right) +\cdots +\ln
\left( x_{N}^{\alpha _{N}}\right) \\
&=&\ln \left( k\right) +\alpha _{1}\ln \left( x_{1}\right) +\cdots +\alpha
_{N}\ln \left( x_{N}\right)
\end{eqnarray*}を定めます。
自然対数関数\(\ln \left( x\right) \)は正の実数集合\(\mathbb{R} _{++}^{N}\)上においてのみ定義されるため\(\ln \left( 0\right) \)は存在しません。一方、消費集合\(\mathbb{R} _{+}^{N}\)の境界点、すなわち少なくとも1つの商品の消費量が\(0\)であるような消費ベクトル\(\boldsymbol{x}\)において\(u\left( \boldsymbol{x}\right) =0\)となるため、合成関数\(\ln \left( u\left( \boldsymbol{x}\right) \right) \)を\(\mathbb{R} _{+}^{N}\)上に定義することはできません。合成関数\(\ln \left( u\left( \boldsymbol{x}\right) \right) \)の定義域は\(\mathbb{R} _{++}^{N}\)です。
\end{equation*}を定めます。ただし、\(k>0\)かつ\(\alpha _{1}>0\)かつ\(\alpha _{2}>0\)です。この場合、合成関数\(\ln \left( u\left( x_{1},x_{2}\right) \right) :\mathbb{R} _{++}^{2}\rightarrow \mathbb{R} \)が定義可能であり、それぞれの\(\left( x_{1},x_{2}\right) \in \mathbb{R} _{++}^{2}\)に対して、\begin{eqnarray*}\ln \left( u\left( x_{1},x_{2}\right) \right) &=&\ln \left( kx_{1}^{\alpha
_{1}}x_{2}^{\alpha _{2}}\right) \\
&=&\ln \left( k\right) +\alpha _{1}\ln \left( x_{1}\right) +\alpha _{2}\ln
\left( x_{2}\right)
\end{eqnarray*}を定めます。
消費集合\(\mathbb{R} _{+}^{N}\)上の選好関係\(\succsim \)がコブ・ダグラス型効用関数\(u:\mathbb{R} _{+}^{N}\rightarrow \mathbb{R} \)によって表現されるものとします。消費集合の内部\(\mathbb{R} _{++}^{N}\)に存在する消費ベクトルだけを比較対象とする場合、自然数対数関数\(\ln \left( x\right) \)との合成関数\(\ln \left( u\left( \boldsymbol{x}\right) \right) :\mathbb{R} _{++}^{N}\rightarrow \mathbb{R} \)が定義可能ですが、自然対数関数は単調増加関数であるため、合成関数\(\ln \left( u\left( \boldsymbol{x}\right) \right) \)はもとの関数\(u\)の単調増加変換です。選好関係を表す効用関数の任意の単調増加変換もまた同一の選好関係を表す効用関数であるため、\(\ln \left(u\left( \boldsymbol{x}\right) \right) \)もまた\(\succsim \)を表す効用関数です。したがって、消費集合の内部\(\mathbb{R} _{++}^{N}\)に属する消費集合どうしを比較する場合、\(u\)の代わりに\(\ln \left(u\left( \boldsymbol{x}\right) \right) \)を分析対象としても一般性は失われません。消費集合の境界にある消費ベクトルについては別途に考える必要があります。
x_{N}^{\alpha _{N}}
\end{equation*}を定める。ただし、\(k>0\)かつ\(\alpha _{n}>0\ \left( n=1,\cdots ,N\right) \)である。消費集合の内部\(\mathbb{R} _{++}^{N}\)上の選好関係\(\succsim \)が\(u\)によって表現されるならば、関数\(\ln \left( u\left( \boldsymbol{x}\right) \right) :\mathbb{R} _{++}^{N}\rightarrow \mathbb{R} \)もまた\(\succsim \)を表現する効用関数である。
コブ・ダグラス型効用関数は準凹関数
コブ・ダグラス型効用関数の定義域を消費集合の内部に制限して\(u:\mathbb{R} _{++}^{N}\rightarrow \mathbb{R} \)とした場合、合成関数\(\ln \left( u\left( \boldsymbol{x}\right) \right) :\mathbb{R} _{++}^{N}\rightarrow \mathbb{R} \)が定義可能であり、これはそれぞれの\(\boldsymbol{x}\in \mathbb{R} _{++}^{N}\)に対して、\begin{equation*}\ln \left( u\left( \boldsymbol{x}\right) \right) =\ln \left( k\right)
+\alpha _{1}\ln \left( x_{1}\right) +\cdots +\alpha _{N}\ln \left(
x_{N}\right)
\end{equation*}を定めます。この関数は凹関数です。
x_{N}^{\alpha _{N}}
\end{equation*}を定める。ただし、\(k>0\)かつ\(\alpha _{n}>0\ \left( n=1,\cdots ,N\right) \)である。合成関数\(\ln \left( u\left( \boldsymbol{x}\right) \right) :\mathbb{R} _{++}^{N}\rightarrow \mathbb{R} \)は凹関数である。
以上の命題を踏まえると、コブ・ダグラス型効用関数が準凹関数であることを示すことができます。
x_{N}^{\alpha _{N}}
\end{equation*}を定める。ただし、\(k>0\)かつ\(\alpha _{n}>0\ \left( n=1,\cdots ,N\right) \)である。\(u\)は\(\mathbb{R} _{++}^{N}\)上において準凹関数である。
コブ・ダグラス型効用関数が凹関数であるための条件
コブ・ダグラス型効用関数が準凹であることが明らかになりました。凹関数は準凹関数ですが、準凹関数は凹関数であるとは限りません。コブ・ダグラス型効用関数は凹関数でしょうか。一定の条件のもとでは、コブ・ダグラス型効用関数は凹関数になります。
x_{N}^{\alpha _{N}}
\end{equation*}を定める。ただし、\(k>0\)かつ\(\alpha _{n}>0\ \left( n=1,\cdots ,N\right) \)である。以下の条件\begin{equation*}\alpha _{1}+\cdots +\alpha _{N}\leq 1
\end{equation*}が成り立つ場合、\(u\)は\(\mathbb{R} _{++}^{N}\)上において凹関数である。
\end{equation*}を定めます。これはコブ・ダグラス関数です。\(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}<1\)であるため、先の命題より\(u\)は凹関数であるはずです。点\(\left( x_{1},x_{2}\right) \in \mathbb{R} _{++}^{2}\)におけるヘッセ行列は、\begin{equation*}H_{u}\left( x_{1},x_{2}\right) =\begin{pmatrix}
u_{x_{1}x_{1}}^{\prime \prime } & u_{x_{1}x_{2}}^{\prime \prime } \\
u_{x_{2}x_{1}}^{\prime \prime } & u_{x_{2}x_{2}}^{\prime \prime }\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
-\frac{1}{4}x_{1}^{-\frac{3}{2}}x_{2}^{\frac{1}{3}} & \frac{1}{6}x_{1}^{-\frac{1}{2}}x_{2}^{-\frac{2}{3}} \\
\frac{1}{6}x_{1}^{-\frac{1}{2}}x_{2}^{-\frac{2}{3}} & -\frac{2}{9}x_{1}^{\frac{1}{2}}x_{2}^{-\frac{5}{3}}\end{pmatrix}\end{equation*}です。\(H_{u}\left( x_{1},x_{2}\right) \)の1次の主座小行列式については、\begin{eqnarray*}\left\vert A_{1}\right\vert &=&\left\vert -\frac{1}{4}x_{1}^{-\frac{3}{2}}x_{2}^{\frac{1}{3}}\right\vert =-\frac{1}{4}x_{1}^{-\frac{3}{2}}x_{2}^{\frac{1}{3}}\leq 0 \\
\left\vert A_{2}\right\vert &=&\left\vert -\frac{2}{9}x_{1}^{\frac{1}{2}}x_{2}^{-\frac{5}{3}}\right\vert =-\frac{2}{9}x_{1}^{\frac{1}{2}}x_{2}^{-\frac{5}{3}}\leq 0
\end{eqnarray*}が成り立ち、2次の主座小行列式については、\begin{equation*}
\left\vert A_{1,2}\right\vert =\begin{vmatrix}
-\frac{1}{4}x_{1}^{-\frac{3}{2}}x_{2}^{\frac{1}{3}} & \frac{1}{6}x_{1}^{-\frac{1}{2}}x_{2}^{-\frac{2}{3}} \\
\frac{1}{6}x_{1}^{-\frac{1}{2}}x_{2}^{-\frac{2}{3}} & -\frac{2}{9}x_{1}^{\frac{1}{2}}x_{2}^{-\frac{5}{3}}\end{vmatrix}=\frac{1}{36x_{1}x_{2}^{\frac{4}{3}}}\geq 0
\end{equation*}が成り立つため、\(u\)は\(\mathbb{R} _{++}^{2}\)上において凹関数です。
\end{equation*}を定めます。これはコブ・ダグラス関数です。\(2+3>1\)であるため先の命題を適用できず、ゆえに\(u\)が凹関数であることを保証できません。点\(\left( x_{1},x_{2}\right)\in \mathbb{R} _{++}^{2}\)におけるヘッセ行列は、\begin{equation*}H_{u}\left( x_{1},x_{2}\right) =\begin{pmatrix}
u_{x_{1}x_{1}}^{\prime \prime } & u_{x_{1}x_{2}}^{\prime \prime } \\
u_{x_{2}x_{1}}^{\prime \prime } & u_{x_{2}x_{2}}^{\prime \prime }\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
2x_{2}^{3} & 6x_{1}x_{2}^{2} \\
6x_{1}x_{2}^{2} & 6x_{1}^{2}x_{2}\end{pmatrix}\end{equation*}です。\(H_{u}\left( x_{1},x_{2}\right) \)の1次の主座小行列式については、\begin{eqnarray*}\left\vert A_{1}\right\vert &=&\left\vert 2x_{2}^{3}\right\vert
=2x_{2}^{3}>0 \\
\left\vert A_{2}\right\vert &=&\left\vert 6x_{1}^{2}x_{2}\right\vert
=6x_{1}^{2}x_{2}>0
\end{eqnarray*}が成り立ち、2次の主座小行列式については、\begin{equation*}
\left\vert A_{1,2}\right\vert =\begin{vmatrix}
2x_{2}^{3} & 6x_{1}x_{2}^{2} \\
6x_{1}x_{2}^{2} & 6x_{1}^{2}x_{2}\end{vmatrix}=-24x_{1}^{2}x_{2}^{4}<0
\end{equation*}が成り立つため、\(u\)は\(\mathbb{R} _{++}^{2}\)上において不定であるため、凸関数と凹関数のどちらでもありません。
演習問題
\end{equation*}を定めます。\(u\)はコブ・ダグラス型効用関数です。\(u\)は\(\mathbb{R} _{++}^{2}\)上において凹関数でしょうか。議論してください。
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