有界変動関数の定数倍

\(a<b\)を満たす実数\(a,b\in \mathbb{R} \)を端点とする有界閉区間上に定義された関数\(f:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \)と実数\(c\in \mathbb{R} \)がそれぞれ任意に与えられたとき、そこから関数\(cf:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \)を定義する。\(f\)が\(\left[ a,b\right] \)上で有界変動であるならば、\(cf\)もまた\(\left[a,b\right] \)上で有界変動であるとともに、それらの全変動の間には以下の関係\begin{equation*}TV\left( cf\right) =\left\vert c\right\vert \cdot TV\left( f\right)
\end{equation*}が成立する。

関数\(f:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \left[ a,b\right] \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =-x
\end{equation*}を定めるものとします。恒等関数\(x\)は区間\(\left[ a,b\right] \)上において有界変動です。実際、区間\(\left[ a,b\right] \)の分割\(P=\left\{ x_{k}\right\}_{k=0}^{n}\)を任意に選んだとき、\(P\)のもとでの恒等関数\(x\)の変動は、\begin{eqnarray*}V\left( x,P\right) &=&\sum_{k=1}^{n}\left\vert f\left( x_{k}\right)
-f\left( x_{k-1}\right) \right\vert \quad \because \text{変動の定義} \\
&=&\sum_{k=1}^{n}\left\vert x_{k}-x_{k-1}\right\vert \quad \because f\text{の定義} \\
&=&\sum_{k=1}^{n}\left( x_{k}-x_{k-1}\right) \quad \because x_{k}>x_{k-1} \\
&=&\left( x_{1}-x_{0}\right) +\left( x_{2}-x_{1}\right) +\cdots +\left(
x_{n}-x_{n-1}\right) \\
&=&x_{n}-x_{0}\quad \because \text{相殺} \\
&=&b-a\quad \because \text{分割}P\text{の定義}
\end{eqnarray*}であるため、\(x\)の全変動は、\begin{eqnarray*}TV\left( x\right) &=&\sup \left\{ V\left( x,P\right) \in \mathbb{R} \ |\ P\text{は}\left[ a,b\right] \text{の分割}\right\} \\
&=&\sup \left\{ b-a\right\} \\
&=&b-a \\
&<&+\infty
\end{eqnarray*}を満たします。関数\(f\)は恒等関数\(x\)の定数倍（\(-1\)倍）として定義されているため、先の命題より、\(f\)もまた\(\left[a,b\right] \)上で有界変動です。さらに、先の命題より、関数\(f\)の全変動は、\begin{eqnarray*}TV\left( f\right) &=&TV\left( -x\right) \quad \because f\text{の定義} \\
&=&\left\vert -1\right\vert \cdot TV\left( x\right) \quad \because \text{先の命題} \\
&=&1\left( b-a\right) \\
&=&b-a
\end{eqnarray*}となります。

単調増加関数\(f:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \)が与えられた状況において以下の関数\begin{equation*}-f:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}を定義します。単調増加関数は有界変動であるため\(f\)は\(\left[ a,b\right] \)上で有界変動です。有界変動関数の定数倍は有界変動であるため\(-f\)は\(\left[ a,b\right] \)上で有界変動です。さらに、\begin{eqnarray*}TV\left( -f\right) &=&\left\vert -1\right\vert \cdot TV\left( f\right) \\
&=&TV\left( f\right)
\end{eqnarray*}が成り立ちます。実際、\(f\)が単調増加関数である場合、\(-f\)は単調減少関数ですが、単調減少関数は有界変動であるため\(-f\)は\(\left[ a,b\right] \)上で有界変動です。

\(a<b\)を満たす実数\(a,b\in \mathbb{R} \)を端点とする有界閉区間上に定義された関数\(f:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \)と実数\(c\in \mathbb{R} \)がそれぞれ任意に与えられたとき、そこから関数\(cf:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \)を定義します。本文中で明らかにしたように、\(f\)が\(\left[ a,b\right] \)上で有界変動である場合には\(cf\)もまた\(\left[ a,b\right] \)上で有界変動です。では、\(cf\)が\(\left[ a,b\right] \)上で有界変動である場合には\(f\)もまた\(\left[ a,b\right] \)上で有界変動であると言えるでしょうか。議論してください。

\(a<b\)を満たす実数\(a,b\in \mathbb{R} \)を端点とする有界閉区間上に定義された関数\(f:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \)と実数\(c\in \mathbb{R} \)がそれぞれ任意に与えられたとき、そこから関数\(cf:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \)を定義します。\(f\)が\(\left[a,b\right] \)上で有界変動ではない場合には\(cf\)もまた\(\left[ a,b\right] \)上で有界変動ではないと言えるでしょうか。議論してください。