関数の連続点
実数空間\(\mathbb{R} \)もしくはその部分集合\(X\)を定義域とし、実数値をとる1変数関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が与えられているものとします。このような関数\(f\)が定義域上の点\(a\in X\)において連続であることをイプシロン・デルタ論法を用いて表現すると、\begin{equation}\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in X:\left(
\left\vert x-a\right\vert <\delta \Rightarrow \left\vert f\left( x\right)
-f\left( a\right) \right\vert <\varepsilon \right) \quad \cdots (1)
\end{equation}となります。関数\(f\)が定義域上の点\(a\in X\)において連続である場合、\(a\)を\(f\)の連続点（continuous point）と呼びます。
関数\(f\)の定義域上の点\(a\in X\)が\(X\)の集積点である場合には、\(\left( 1\right) \)が成り立つことと、\begin{equation}\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) =f\left( a\right) \quad \cdots (2)
\end{equation}が成り立つことは必要十分です。つまり、定義域上の点\(a\in X\)が\(X\)の集積点である場合、\(a\)が\(f\)の連続点であることと\(\left( 2\right) \)が成り立つことは必要十分です。
関数\(f\)の定義域上の点\(a\in X\)が\(X\)の孤立点である場合には、\(\left( 1\right) \)は常に成り立ちます。つまり、定義域上の点\(a\in X\)が\(X\)の孤立点である場合、\(a\)は\(f\)の連続点です。
関数\(f\)の定義域に属さない点\(a\in \mathbb{R} \backslash X\)は\(f\)の連続点ではありません。
\begin{array}{cc}
\sin \left( \frac{1}{x}\right) & \left( if\ x\not=0\right) \\
0 & \left( if\ x=0\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。非ゼロの点\(a\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow a}\sin \left(
\frac{1}{x}\right) \\
&=&\sin \left( \lim_{x\rightarrow a}\frac{1}{x}\right) \\
&=&\sin \left( \frac{1}{a}\right) \\
&=&f\left( a\right)
\end{eqnarray*}が成り立ちます。したがって、\(\mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} \)上の任意の点は\(f\)の連続点です。その一方で、点\(0\)については、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow 0}f\left( x\right) =\lim_{x\rightarrow 0}\sin \left(
\frac{1}{x}\right)
\end{equation*}は有限な実数として定まらないため、点\(0\)は\(f\)の連続点ではありません。
関数の第1種の不連続点
点\(a\in \mathbb{R} \)が関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)の不連続点ではない場合、\(a\)を\(f\)の不連続点（discontinuous point）と呼びます。
点\(a\in \mathbb{R} \)が関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)の不連続点であるとともに、以下の3つの条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \lim\limits_{x\rightarrow a+}f\left( x\right) \in \mathbb{R} \\
&&\left( b\right) \ \lim\limits_{x\rightarrow a-}f\left( x\right) \in \mathbb{R} \\
&&\left( c\right) \ \lim\limits_{x\rightarrow a+}f\left( x\right)
\not=\lim\limits_{x\rightarrow a-}f\left( x\right)
\end{eqnarray*}が成り立つ場合には、\(a\)を\(f\)の跳躍不連続点（jump discontinuous point）と呼びます。つまり、\(a\)が\(f\)の跳躍不連続点であることとは、左右の片側極限が有限な実数として定まるものの、それらの値が一致しないことを意味します。この場合、\(f\)のグラフは点\(a\)において飛び跳ねるように切れています。ちなみに、左右の右側極限が一致せず、なおかつ\(f\)が点\(a\)において定義されていない場合にも、\(a\)は\(f\)の跳躍不連続点です。
\begin{array}{cc}
x+1 & \left( if\ x<2\right) \\
4 & \left( if\ x=2\right) \\
x+3 & \left( if\ x>2\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。点\(2\)に関して、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow 2+}f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow 2+}\left(
x+3\right) \\
&=&2+3 \\
&=&5
\end{eqnarray*}である一方で、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow 2-}f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow 2-}\left(
x+1\right) \\
&=&2+1 \\
&=&3
\end{eqnarray*}であるため、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow 2+}f\left( x\right) \not=\lim_{x\rightarrow 2-}f\left(
x\right)
\end{equation*}であり、したがって点\(2\)は\(f\)の跳躍不連続点です。
\begin{array}{cc}
x+1 & \left( if\ x<2\right) \\
x+3 & \left( if\ x>2\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は点\(2\)において定義されていません。また、先に示したように、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow 2+}f\left( x\right) =5\not=3=\lim_{x\rightarrow
2-}f\left( x\right)
\end{equation*}が成り立つため、点\(2\)は\(f\)の跳躍不連続点です。
点\(a\in \mathbb{R} \)が関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)の不連続点であるとともに、以下の3つの条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \lim\limits_{x\rightarrow a+}f\left( x\right) \in \mathbb{R} \\
&&\left( b\right) \ \lim\limits_{x\rightarrow a-}f\left( x\right) \in \mathbb{R} \\
&&\left( c\right) \ \lim\limits_{x\rightarrow a+}f\left( x\right)
=\lim\limits_{x\rightarrow a-}f\left( x\right) \not=f\left( a\right)
\end{eqnarray*}が成り立つ場合には、\(a\)を\(f\)の除去可能な不連続点（removable discontinuous point）と呼びます。つまり、\(a\)が\(f\)の除去可能な不連続点であることとは、左右の片側極限が有限な実数として定まり、それらの値が一致するものの、それが\(f\left( a\right) \)とは一致しないことを意味します。この場合、\(f\)のグラフは点\(a\)において穴が開いています。ちなみに、左右の右側極限が一致する一方で、\(f\)が点\(a\)において定義されていない場合にも、\(a\)は\(f\)の除去可能な不連続点です。
左右の片側極限が一致する場合、それは通常の意味での極限と一致します。したがって、点\(a\in \mathbb{R} \)が関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)の除去可能な不連続点であることを、\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \lim\limits_{x\rightarrow a}f\left( x\right) \in \mathbb{R} \\
&&\left( b\right) \ \lim\limits_{x\rightarrow a}f\left( x\right)
\not=f\left( a\right)
\end{eqnarray*}が成り立つこととして定義されます。この場合、点\(a\)における\(f\)の値を、\begin{equation*}f\left( a\right) =\lim\limits_{x\rightarrow a}f\left( x\right)
\end{equation*}と定義し直せば、\(f\)は点\(a\)において連続になり、不連続点は除去されます。除去可能な不連続点という名称の由来は以上の通りです。
\begin{array}{cc}
x+1 & \left( if\ x\not=2\right) \\
4 & \left( if\ x=2\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。点\(2\)において、\begin{eqnarray*}\lim_{x\rightarrow 2+}f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow 2+}\left(
x+1\right) =3 \\
\lim_{x\rightarrow 2-}f\left( x\right) &=&\lim_{x\rightarrow 2-}\left(
x+1\right) =3
\end{eqnarray*}であるため、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow 2}f\left( x\right) =\lim_{x\rightarrow 2+}f\left(
x\right) =\lim_{x\rightarrow 2-}f\left( x\right) =3
\end{equation*}を得ます。その一方で、\begin{eqnarray*}
\lim_{x\rightarrow 2}f\left( x\right) &=&3 \\
&\not=&4 \\
&=&f\left( 2\right)
\end{eqnarray*}であるため、点\(2\)は\(f\)の除去可能な不連続点です。ちなみに、\begin{equation*}f\left( 2\right) =3
\end{equation*}と定義し直せば、\(f\)は点\(2\)において連続になります。
\end{equation*}を定めるものとします。先に示したように、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow 2+}f\left( x\right) =\lim_{x\rightarrow 2-}f\left(
x\right) =3
\end{equation*}が成り立ちます。その一方で、\(f\)は点\(2\)において定義されていないため、点\(2\)は\(f\)の除去可能な不連続点です。ちなみに、\begin{equation*}f\left( 2\right) =3
\end{equation*}と定義すれば、\(f\)は点\(2\)において連続になります。
点\(a\in \mathbb{R} \)が関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)の跳躍不連続点または除去可能な不連続点のどちらか一方である場合には、すなわち、以下の条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \lim\limits_{x\rightarrow a+}f\left( x\right) \in \mathbb{R} \\
&&\left( b\right) \ \lim\limits_{x\rightarrow a-}f\left( x\right) \in \mathbb{R} \\
&&\left( c\right) \ \lim\limits_{x\rightarrow a+}f\left( x\right)
\not=\lim\limits_{x\rightarrow a-}f\left( x\right) \vee
\lim\limits_{x\rightarrow a+}f\left( x\right) =\lim\limits_{x\rightarrow
a-}f\left( x\right) \not=f\left( a\right)
\end{eqnarray*}がすべて成り立つ場合には、このような不連続点\(a\)を\(f\)の第1種の不連続点（discontinuous point of the first kind）と呼びます。
関数の第2種の不連続点
点\(a\in \mathbb{R} \)が関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)の不連続点であるとともに、以下の2つの条件\begin{eqnarray*}&&\left( a\right) \ \lim\limits_{x\rightarrow a+}f\left( x\right) \not\in \mathbb{R} \\
&&\left( b\right) \ \lim\limits_{x\rightarrow a-}f\left( x\right) \not\in \mathbb{R} \end{eqnarray*}の少なくとも一方が成り立つ場合、すなわち、左右の片側極限の少なくとも一方が有限な実数として定まらない場合、このような不連続点\(a\)を\(f\)の第2種の不連続点（discontinuous point of the second kind）と呼びます。ちなみに、左右の右側極限の少なくとも一方が有限な実数として定まらず、なおかつ\(f\)が点\(a\)において定義されていない場合にも、\(a\)は\(f\)の第2種の不連続点です。
\begin{array}{cl}
0 & \left( if\ x\in \mathbb{Q} \right) \\
1 & \left( if\ x\in \mathbb{R} \backslash \mathbb{Q} \right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選びます。まずは\(a\in \mathbb{Q} \)の場合について考えます。\(f\)が\(a\)において右側連続であるためには、\begin{equation*}\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in I:\left( 0\leq
x-a<\delta \Rightarrow \left\vert f\left( x\right) -f\left( a\right)
\right\vert <\varepsilon \right)
\end{equation*}が成り立つ必要がありますが、これは成り立ちません。実際、\(\varepsilon =\frac{1}{2}\)としたとき、任意の\(\delta >0\)に対して、無理数の稠密性より、\(0\leq x-a<\delta \)を満たす無理数\(x\)が必ず存在します。すると\(f\)の定義より、\begin{equation*}\left\vert f\left( x\right) -f\left( a\right) \right\vert =\left\vert
1-0\right\vert =1\geq \frac{1}{2}=\varepsilon
\end{equation*}となるため、\(f\)は\(a\)において右側連続ではありません。\(\alpha \not\in \mathbb{Q} \)の場合には、有理数の稠密性を用いることにより、上と同様の議論により\(f\)が\(a\)において右側連続ではないことが示されます。また、同様の議論において\(f\)は\(a\)において左側連続でもありません。したがって、\(\mathbb{R} \)上の任意の点は第2種の不連続点です。
\end{equation*}を定めるものとします。点\(0\)に注目した場合、\(x\rightarrow 0+\)の場合に\(\frac{1}{x}\)は正の値をとりながら限りなく大きくなるため\(\sin \left( \frac{1}{x}\right) \)は振動し、ゆえに、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow 0+}f\left( x\right) \not\in \mathbb{R} \end{equation*}が成り立ちます。また、\(x\rightarrow 0-\)の場合に\(\frac{1}{x}\)は負の値をとりながら限りなく小さくなるため\(\sin \left( \frac{1}{x}\right) \)は振動し、ゆえに、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow 0-}f\left( x\right) \not\in \mathbb{R} \end{equation*}が成り立ちます。\(f\)は点\(0\)において定義されていません。したがって、点\(0\)は\(f\)の第2種の不連続点です。
演習問題
\end{equation*}を定めるものとします。\(\mathbb{R} \)上の点を\(f\)の連続性の観点から分類してください。
\begin{array}{cl}
1-x^{2} & \left( if\ x<0\right) \\
x+2 & \left( if\ x\geq 0\right)\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。\(\mathbb{R} \)上の点を\(f\)の連続性の観点から分類してください。
\end{equation*}を定めるものとします。\(\mathbb{R} \)上の点を\(f\)の連続性の観点から分類してください。
プレミアム会員専用コンテンツです
【ログイン】【会員登録】