偶関数と奇関数

偶関数

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が以下の2つの条件\begin{eqnarray*}\left( a\right) \ \forall x &\in &X:-x\in X \\
\left( b\right) \ \forall x &\in &X:f\left( x\right) =f\left( -x\right)
\end{eqnarray*}を満たす場合には、\(f\)を偶関数（even function）と呼びます。

条件\(\left( a\right) \)は、\(f\)が点\(x\)において定義されている場合には点\(-x\)においても定義されていることを意味します。つまり、定義域\(X\)は\(y\)軸を中心に対称であるということです。定義域\(X\)上にある2つの点\(x,-x\)は\(y\)軸に対して対称的な位置にありますが、条件\(\left( b\right) \)より、\(f\)がこれらに対して定める値\(f\left( x\right) ,f\left( -x\right) \)は一致します。したがって、偶関数\(f\)のグラフは\(y\)軸に対して対称的な形をしています。

関数は偶関数であるとは限りません。まずは定義域が\(y\)軸に対して対称的ではない関数の例です。

続いて、\(f\)のグラフが\(y\)軸に対して対称的ではない関数の例です。

奇関数

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が以下の2つの条件\begin{eqnarray*}\left( a\right) \ \forall x &\in &X:-x\in X \\
\left( b\right) \ \forall x &\in &X:f\left( x\right) =-f\left( -x\right)
\end{eqnarray*}を満たす場合には、\(f\)を奇関数（odd function）と呼びます。

条件\(\left( a\right) \)は、\(f\)が点\(x\)において定義されている場合には点\(-x\)においても定義されていることを意味します。つまり、定義域\(X\)は\(y\)軸を中心に対称であるということです。定義域\(X\)上にある2つの点\(x,-x\)は\(y\)軸に対して対称的な位置にありますが、条件\(\left( b\right) \)より、\(f\)がこれらに対して定める値\(f\left( x\right) ,f\left( -x\right) \)は\(x\)軸に対して対称的な位置にあります。したがって、奇関数\(f\)のグラフは原点\(\left( 0,0\right) \)に対して対称的な形をしています。

関数は奇関数であるとは限りません。まずは定義域が\(y\)軸に対して対称的ではない関数の例です。

続いて、\(f\)のグラフが原点に対して対称的ではない関数の例です。

偶関数かつ奇関数であるような関数はゼロ関数

偶関数かつ奇関数であるような関数は定数関数\(0\)であることが保証されます。

偶奇関数の定数倍の偶奇判定

実数\(c\in \mathbb{R} \)と関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が与えられたとき、それぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}\left( cf\right) \left( x\right) =cf\left( x\right)
\end{equation*}を値として定める関数\begin{equation*}
cf:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が定義可能です。ただし、\begin{equation*}
\forall x\in X:-x\in X
\end{equation*}が成り立つものとします。\(f\)と\(cf\)の偶奇の間には以下の関係が成り立ちます。

偶奇関数の和の偶奇判定

定義域を共有する2つの関数\begin{eqnarray*}
f &:&\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \\
g &:&\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray*}が与えられたとき、それぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}\left( f+g\right) \left( x\right) =f\left( x\right) +g\left( x\right)
\end{equation*}を値として定める関数\begin{equation*}
f+g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が定義可能です。ただし、\begin{equation*}
\forall x\in X:-x\in X
\end{equation*}が成り立つものとします。\(f,g\)と\(f+g\)の偶奇の間には以下の関係が成り立ちます。

では、\(f,g\)の一方が偶関数で他方が奇関数の場合、\(f+g\)の偶奇に関して何らかのことを言えるでしょうか。\(f\)が偶関数で\(g\)が奇関数であるものとしても一般性は失われません。この場合、任意の\(x\in X\)について、\begin{eqnarray*}\left( f+g\right) \left( -x\right) &=&f\left( -x\right) +g\left( -x\right)
\quad \because f+g\text{の定義} \\
&=&f\left( x\right) -g\left( x\right) \quad \because f\text{は偶関数で}g\text{は奇関数}
\end{eqnarray*}であり、\begin{eqnarray*}
-\left( f+g\right) \left( -x\right) &=&-\left[ f\left( -x\right) +g\left(
-x\right) \right] \quad \because f+g\text{の定義} \\
&=&-\left[ f\left( x\right) -g\left( x\right) \right] \quad \because f\text{は偶関数で}g\text{は奇関数} \\
&=&g\left( x\right) -f\left( x\right)
\end{eqnarray*}です。つまり、\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ \left( f+g\right) \left( -x\right) =f\left( x\right)
-g\left( x\right) \\
&&\left( b\right) \ -\left( f+g\right) \left( -x\right) =g\left( x\right)
-f\left( x\right)
\end{eqnarray*}が成り立つことに注意してください。

まず、\(f+g\)は偶関数になり得るでしょうか。\(f+g\)が偶関数であるものと仮定すると、任意の\(x\in X\)について、\begin{equation*}\left( f+g\right) \left( -x\right) =\left( f+g\right) \left( x\right)
\end{equation*}が成り立ちますが、これと\(\left( a\right) \)より、\begin{equation*}f\left( x\right) -g\left( x\right) =f\left( x\right) +g\left( x\right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
g\left( x\right) =0
\end{equation*}を得ます。つまり、奇関数\(g\)が定数関数\(0\)の場合にのみ\(f+g\)は偶関数になります。

次に、\(f+g\)は奇関数になり得るでしょうか。\(f+g\)が奇関数であるものと仮定すると、任意の\(x\in X\)について、\begin{equation*}-\left( f+g\right) \left( -x\right) =\left( f+g\right) \left( x\right)
\end{equation*}が成り立ちますが、これと\(\left( b\right) \)より、\begin{equation*}g\left( x\right) -f\left( x\right) =f\left( x\right) +g\left( x\right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
f\left( x\right) =0
\end{equation*}を得ます。つまり、偶関数\(f\)が定数関数\(0\)の場合にのみ\(f+g\)は奇関数になります。

最後に、\(f\)と\(g\)がともに定数関数\(0\)ではない場合について考えます。\(f\)が定数関数\(0\)ではないため\(f+g\)は偶関数ではなく、\(g\)が定数関数\(0\)ではないため\(f+g\)は奇関数ではないため、この場合には\(f+g\)は偶関数と奇関数のどちらでもありません。結果を整理します。

偶奇関数の差の偶奇判定

定義域を共有する2つの関数\begin{eqnarray*}
f &:&\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \\
g &:&\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray*}が与えられたとき、それぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}\left( f-g\right) \left( x\right) =f\left( x\right) -g\left( x\right)
\end{equation*}を値として定める関数\begin{equation*}
f-g:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が定義可能です。ただし、\begin{equation*}
\forall x\in X:-x\in X
\end{equation*}が成り立つものとします。\(f,g\)と\(f-g\)の偶奇の間には以下の関係が成り立ちます。

では、\(f,g\)の一方が偶関数で他方が奇関数の場合、\(f-g\)の偶奇に関して何らかのことを言えるでしょうか。\(f\)が偶関数で\(g\)が奇関数であるものとしても一般性は失われません。この場合、任意の\(x\in X\)について、\begin{eqnarray*}\left( f-g\right) \left( -x\right) &=&f\left( -x\right) -g\left( -x\right)
\quad \because f-g\text{の定義} \\
&=&f\left( x\right) +g\left( x\right) \quad \because f\text{は偶関数で}g\text{は奇関数}
\end{eqnarray*}であり、\begin{eqnarray*}
-\left( f-g\right) \left( -x\right) &=&-\left[ f\left( -x\right) -g\left(
-x\right) \right] \quad \because f-g\text{の定義} \\
&=&-\left[ f\left( x\right) +g\left( x\right) \right] \quad \because f\text{は偶関数で}g\text{は奇関数} \\
&=&-f\left( x\right) -g\left( x\right)
\end{eqnarray*}です。つまり、\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ \left( f-g\right) \left( -x\right) =f\left( x\right)
+g\left( x\right) \\
&&\left( b\right) \ -\left( f-g\right) \left( -x\right) =-f\left( x\right)
-g\left( x\right)
\end{eqnarray*}が成り立つことに注意してください。

まず、\(f-g\)は偶関数になり得るでしょうか。\(f-g\)が偶関数であるものと仮定すると、任意の\(x\in X\)について、\begin{equation*}\left( f-g\right) \left( -x\right) =\left( f-g\right) \left( x\right)
\end{equation*}が成り立ちますが、これと\(\left( a\right) \)より、\begin{equation*}f\left( x\right) +g\left( x\right) =f\left( x\right) -g\left( x\right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
g\left( x\right) =0
\end{equation*}を得ます。つまり、奇関数\(g\)が定数関数\(0\)の場合にのみ\(f-g\)は偶関数になります。

次に、\(f-g\)は奇関数になり得るでしょうか。\(f-g\)が奇関数であるものと仮定すると、任意の\(x\in X\)について、\begin{equation*}-\left( f-g\right) \left( -x\right) =\left( f-g\right) \left( x\right)
\end{equation*}が成り立ちますが、これと\(\left( b\right) \)より、\begin{equation*}-f\left( x\right) -g\left( x\right) =f\left( x\right) -g\left( x\right)
\end{equation*}すなわち、\begin{equation*}
f\left( x\right) =0
\end{equation*}を得ます。つまり、偶関数\(f\)が定数関数\(0\)の場合にのみ\(f-g\)は奇関数になります。

最後に、\(f\)と\(g\)がともに定数関数\(0\)ではない場合について考えます。\(f\)が定数関数\(0\)ではないため\(f-g\)は偶関数ではなく、\(g\)が定数関数\(0\)ではないため\(f-g\)は奇関数ではないため、この場合には\(f-g\)は偶関数と奇関数のどちらでもありません。結果を整理します。

偶奇関数の積の偶奇判定

定義域を共有する2つの関数\begin{eqnarray*}
f &:&\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \\
g &:&\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray*}が与えられたとき、それぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}\left( fg\right) \left( x\right) =f\left( x\right) \cdot g\left( x\right)
\end{equation*}を値として定める関数\begin{equation*}
fg:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が定義可能です。ただし、\begin{equation*}
\forall x\in X:-x\in X
\end{equation*}が成り立つものとします。\(f,g\)と\(fg\)の偶奇の間には以下の関係が成り立ちます。

偶奇関数の商の偶奇判定

定義域を共有する2つの関数\begin{eqnarray*}
f &:&\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \\
g &:&\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\}
\end{eqnarray*}が与えられたとき、それぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}\left( \frac{f}{g}\right) \left( x\right) =\frac{f\left( x\right) }{g\left(
x\right) }
\end{equation*}を値として定める関数\begin{equation*}
\frac{f}{g}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が定義可能です。ただし、定義域\(X\)上において\(g\)は非ゼロを値としてとるとともに、\begin{equation*}\forall x\in X:-x\in X
\end{equation*}が成り立つものとします。\(f,g\)と\(\frac{f}{g}\)の偶奇の間には以下の関係が成り立ちます。

偶奇関数の合成関数の偶奇判定

2つの関数\begin{eqnarray*}
f &:&\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \\
g &:&\mathbb{R} \supset Y\rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray*}が与えられたとき、\begin{equation*}
f\left( X\right) \subset Y
\end{equation*}が成り立つ場合には合成関数\begin{equation*}
g\circ f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が定義可能であり、これはそれぞれの\(x\in X\)に対して、\begin{equation*}\left( g\circ f\right) \left( x\right) =g\left( f\left( x\right) \right)
\end{equation*}を定めます。ただし、\begin{equation*}
\forall x\in X:-x\in X
\end{equation*}が成り立つものとします。\(f,g\)と\(g\circ f\)の偶奇の間には以下の関係が成り立ちます。

関数の偶奇分解

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)の定義域が\(y\)軸に関して対称であるものとします。つまり、\begin{equation*}\forall x\in X:-x\in X
\end{equation*}が成り立つということです。任意の\(x\in X\)について、\begin{eqnarray*}f\left( x\right) &=&\frac{2f\left( x\right) }{2}+\frac{f\left( -x\right)
-f\left( -x\right) }{2} \\
&=&\frac{f\left( x\right) +f\left( -x\right) }{2}+\frac{f\left( x\right)
-f\left( -x\right) }{2}
\end{eqnarray*}と表現できるため、関数\(f_{e},f_{o}:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)をそれぞれ、\begin{eqnarray*}f_{e}\left( x\right) &=&\frac{f\left( x\right) +f\left( -x\right) }{2} \\
f_{o}\left( x\right) &=&\frac{f\left( x\right) -f\left( -x\right) }{2}
\end{eqnarray*}を定義することにより、\begin{equation*}
f\left( x\right) =f_{e}\left( x\right) +f_{o}\left( x\right)
\end{equation*}と表現できます。\(f_{e}\left(x\right) \)は偶関数であり\(f_{o}\left( x\right) \)は奇関数であるため（演習問題）、以上の事実は、任意の関数は偶関数と奇関数の和として表現できることを意味します。しかも、このような偶奇分解は一意的です。

中心をずらした偶関数と奇関数

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が偶関数であることを、以下の2つの条件\begin{eqnarray*}\left( a\right) \ \forall x &\in &X:-x\in X \\
\left( b\right) \ \forall x &\in &X:f\left( x\right) =f\left( -x\right)
\end{eqnarray*}を満たすこととして定義しましたが、以上の条件では\(f\)の定義域\(X\)および\(f\)のグラフが\(y\)軸すなわち直線\(x=0\)に関して対称であることを想定しています。では、実数\(c\in \mathbb{R} \)が与えられたとき、\(f\)の定義域\(X\)および\(f\)のグラフが直線\(x=c\)に関して対称であることを表現するとどうなるでしょうか
定義域上の点\(x\in X\)が与えられたとき、直線\(x=c\)に関して対称な位置にある点は、\begin{equation*}x+2\left( c-x\right) =2c-x
\end{equation*}であるため、\(f\)の定義域\(X\)が直線\(x=c\)に関して対称であることは、\begin{equation*}\forall x\in X:2c-x\in X
\end{equation*}として表現できます。したがって、\(f\)がのグラフが直線\(x=c\)に関して対称であることは、\begin{equation*}\forall x\in X:f\left( x\right) =f\left( 2c-x\right)
\end{equation*}として表現できます。そこで、関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が以上の2つの条件\begin{eqnarray*}\left( a\right) \ \forall x &\in &X:2c-x\in X \\
\left( b\right) \ \forall x &\in &X:f\left( x\right) =f\left( 2c-x\right)
\end{eqnarray*}をともに満たす場合には、\(f\)は中心\(c\)に関して偶関数であると言います。

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が奇関数であることを、以下の2つの条件\begin{eqnarray*}\left( a\right) \ \forall x &\in &X:-x\in X \\
\left( b\right) \ \forall x &\in &X:f\left( x\right) =-f\left( -x\right)
\end{eqnarray*}を満たすこととして定義しましたが、以上の条件では\(f\)の定義域\(X\)が\(y\)軸に関して対称であり、\(f\)のグラフが原点\(\left( 0,0\right) \)に関して対称であることを想定しています。では、実数\(c,d\in \mathbb{R} \)が与えられたとき、\(f\)の定義域\(X\)が直線\(x=c\)に関して対称であり、\(f\)のグラフが点\(\left( c,d\right) \)に関して対称であることを表現するとどうなるでしょうか。

定義域上の点\(x\in X\)が与えられたとき、直線\(x=c\)に関して対称な位置にある点は、\begin{equation*}x+2\left( c-x\right) =2c-x
\end{equation*}であるため、\(f\)の定義域\(X\)が直線\(x=c\)に関して対称であることは、\begin{equation*}\forall x\in X:2c-x\in X
\end{equation*}として表現できます。また、定義域上の点\(x\in X\)が与えられたとき、点\(\left( x,f\left( x\right) \right) \)の点\(\left( c,d\right) \)に対する対称点は、\begin{equation*}\left( x+2\left( c-x\right) ,f\left( x\right) +2\left( d-f\left( x\right)
\right) \right) =\left( 2c-x,2d-f\left( x\right) \right)
\end{equation*}であるため、\(f\)のグラフが点\(\left( c,d\right) \)に関して対称であることは、\begin{equation*}\forall x\in X:f\left( 2c-x\right) =2d-f\left( x\right)
\end{equation*}として表現できます。そこで、関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が以上の2つの条件\begin{eqnarray*}\left( a\right) \ \forall x &\in &X:2c-x\in X \\
\left( b\right) \ \forall x &\in &X:f\left( 2c-x\right) =2d-f\left( x\right)
\end{eqnarray*}をともに満たす場合には、\(f\)は点\(\left( c,d\right) \)に関して奇関数であると言います。

以上のように一般化された偶関数と奇関数に関しても、これまで示した諸命題と同様の命題が成り立ちます。

演習問題