有界閉区間の連続像
\(a<b\)を満たす実数\(a,b\in \mathbb{R} \)を端点とする有界閉区間上に定義された関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が与えられた状況を想定します。
関数\(f\)は定義域\(\left[ a,b\right] \)上で連続であるものとします。つまり、\(f\)は定義域の内部である有界な開区間\(\left( a,b\right) \)上の任意の点において連続であるとともに、端点\(a\)において右側連続であり、もう一方の端点\(b\)において左側連続です。
以上の条件が満たされる場合、\(f\)による\(\left[a,b\right] \)の像\begin{equation*}f\left( \left[ a,b\right] \right) =\left\{ f\left( x\right) \in \mathbb{R} \ |\ x\in \left[ a,b\right] \right\}
\end{equation*}もまた有界な閉区間になることが保証されます。証明では中間値の定理と最大値・最小値の定理を利用します。
\end{equation*}もまた有界な閉区間になる。
\end{equation*}を定めるものとします。\(\left[ -3,3\right] \)は有界閉区間であり、なおかつ\(f\)は多項式関数であるため\(\left[ -3,3\right] \)上で連続であるため、先の命題より、\(f\left( \left[ -3,3\right] \right) \)もまた有界閉区間になるはずです。実際、\begin{eqnarray*}f\left( \left[ -3,3\right] \right) &=&\{f\left( x\right) \in \mathbb{R} \ |\ x\in \left[ -3,3\right] \} \\
&=&\{x^{2}\in \mathbb{R} \ |\ x\in \left[ -3,3\right] \} \\
&=&\left[ 0,9\right] \end{eqnarray*}となりますが、この結果は先の命題の主張と整合的です。
\end{equation*}を定めるものとします。\(\left[ 0,1\right] \)は有界閉区間であり、なおかつ\(f\)は有理関数であるため\(\left[ 0,1\right] \)上で連続であるため、先の命題より、\(f\left( \left[ 0,1\right] \right) \)もまた有界閉区間になるはずです。実際、\begin{eqnarray*}f\left( \left[ 0,1\right] \right) &=&\left\{ f\left( x\right) \in \mathbb{R} \ |\ x\in \left[ 0,1\right] \right\} \\
&=&\left\{ \frac{x}{x+1}\in \mathbb{R} \ |\ x\in \left[ 0,1\right] \right\} \\
&=&\left[ 0,\frac{1}{2}\right] \end{eqnarray*}となりますが、この結果は先の命題の主張と整合的です。
区間の連続像
連続関数による有界閉区間の像は有界閉区間になることを示しましたが、有界閉区間とは限らない区間の像についても何らかのことを言えるのでしょうか。ただし、\(\mathbb{R} \)の部分集合\(I\)が区間であることとは、\begin{equation*}\forall a,b\in I:\left[ a<b\Rightarrow \forall x\in \left( a,b\right) :x\in I\right] \end{equation*}が成り立つこととして定義されます。つまり、\(I\)に属する2つの要素の間にある任意の点もまた\(I\)の要素である場合、\(I\)を区間と呼ぶということです。
有界閉区間\(\left[ a,b\right] \)は以上の条件を満たすため区間ですが、その他にも、有界開区間\(\left( a,b\right) \)や有界半開区間\((a,b],[a,b)\)、無限閉区間\([a,+\infty),(-\infty ,b]\)、無限開区間\((a,+\infty),(-\infty ,b)\)、全区間\(\left( -\infty ,+\infty\right) \)、1点集合、空集合などもまた区間です。連続関数によるこれらの区間の像はどのような集合になるのでしょうか。
有界閉区間であるとは限らない区間\(I\)について、連続関数\(f\)による像\(f\left( I\right) \)は有界閉区間になるとは限りませんが、区間になることは保証できます。証明では中間値の定理を利用します。
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は多項式関数であるため連続です。したがって、先の命題より、\(I\)がいかなる区間である場合にも\(f\left( I\right) \)は区間になります。定義域が有界開区間\begin{equation*}I=\left( -3,3\right)
\end{equation*}である場合には、\begin{eqnarray*}
f\left( \left( -3,3\right) \right) &=&\left\{ f\left( x\right) \in \mathbb{R} \ |\ x\in \left( -3,3\right) \right\} \\
&=&\left\{ x^{2}\in \mathbb{R} \ |\ x\in \left( -3,3\right) \right\} \\
&=&[0,9)
\end{eqnarray*}となりますが、これは\(\mathbb{R} \)における区間です。定義域が有界半開区間\begin{equation*}I=(-3,3] \end{equation*}である場合には、\begin{eqnarray*}
f\left( (-3,3]\right) &=&\left\{ f\left( x\right) \in \mathbb{R} \ |\ x\in (-3,3]\right\} \\
&=&\left\{ x^{2}\in \mathbb{R} \ |\ x\in (-3,3]\right\} \\
&=&\left[ 0,9\right] \end{eqnarray*}となりますが、これは\(\mathbb{R} \)における区間です。定義域が無限開区間\begin{equation*}I=(-3,+\infty )
\end{equation*}である場合には、\begin{eqnarray*}
f\left( (-3,+\infty )\right) &=&\left\{ f\left( x\right) \in \mathbb{R} \ |\ x\in (-3,+\infty )\right\} \\
&=&\left\{ x^{2}\in \mathbb{R} \ |\ x\in (-3,+\infty )\right\} \\
&=&[0,+\infty )
\end{eqnarray*}となりますが、これは\(\mathbb{R} \)における区間です。以上の結果はいずれも先の命題の主張と整合的です。
先の命題において\(f\)が連続であるという条件は必須です。つまり、関数\(f\)が連続ではない場合には、\(f\)による区間の像は区間になるとは限りません。以下の例より明らかです。
\begin{array}{cc}
1 & \left( if\ x\geq 1\right) \\
2 & \left( if\ x<1\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は点\(1\)において連続ではありません。\(f\)による区間\(\left[ 0,2\right]\subset \mathbb{R} \)の像は、\begin{eqnarray*}f\left( \left[ 0,2\right] \right) &=&\left\{ f\left( x\right) \in \mathbb{R} \ |\ x\in \left[ 0,2\right] \right\} \\
&=&\left\{ f\left( x\right) \in \mathbb{R} \ |\ 0\leq x<1\right\} \cup \left\{ f\left( x\right) \in \mathbb{R} \ |\ 1\leq x\leq 2\right\} \\
&=&\left\{ 2\right\} \cup \left\{ 1\right\}
\end{eqnarray*}ですが、これは区間ではありません。
区間の連続逆像
連続関数による区間の像は区間になることが明らかになりました。では、連続関数による区間の逆像は区間になることは保証されるのでしょうか。順番に検証します。
区間上に定義された連続関数\begin{equation*}
f:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が与えられているものとします。\(\mathbb{R} \)上の区間\(J\subset \mathbb{R} \)を任意に選んだ場合、\(f\)による逆像\begin{equation*}f^{-1}\left( J\right) =\left\{ x\in I\ |\ f\left( x\right) \in J\right\}
\end{equation*}は\(I\)上の区間になるとは限りません。以下の例より明らかです。
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)による区間\(\left[ 1,4\right]\subset \mathbb{R} \)の逆像は、\begin{eqnarray*}f^{-1}\left( \left[ 1,4\right] \right) &=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ f\left( x\right) \in \left[ 1,4\right] \right\} \\
&=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ x^{2}\in \left[ 1,4\right] \right\} \\
&=&\left[ -2,-1\right] \cup \left[ 1,2\right] \end{eqnarray*}ですが、これは区間ではありません。
その一方で、\(f\)が単調関数である場合には、\(f\)による区間の逆像は区間になることが保証されます。
区間上に定義された関数\(f:\mathbb{R} \supset I\rightarrow \mathbb{R} \)が定義域\(I\)上で単調であるものとする。\(\mathbb{R} \)上の区間\(J\subset \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\(f\)による\(J\)の逆像\begin{equation*}f^{-1}\left( J\right) =\left\{ x\in I\ |\ f\left( x\right) \in J\right\}
\end{equation*}は\(I\)上の区間である。
\end{equation*}を定めるものとします。先の例では\(f\)の定義域が\(\mathbb{R} \)であり、その場合には\(f\)は単調関数ではありません。一方、今回の定義域は\(\left( 0,+\infty \right) \)であり、この場合に\(f\)は狭義単調増加です。\(f\)による区間\(\left[ 1,4\right]\subset \mathbb{R} \)の逆像は、\begin{eqnarray*}f^{-1}\left( \left[ 1,4\right] \right) &=&\left\{ x\in \left( 0,+\infty
\right) \ |\ f\left( x\right) \in \left[ 1,4\right] \right\} \\
&=&\left\{ x\in \left( 0,+\infty \right) \ |\ x^{2}\in \left[ 1,4\right] \right\} \\
&=&\left[ 1,2\right] \end{eqnarray*}ですが、これは区間です。以上の結果は先の命題の主張と整合的です。
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は定数関数であるため単調です。その一方で、\(f\)は狭義単調ではありません。区間\(J\subset \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\begin{eqnarray*}f^{-1}\left( J\right) &=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ f\left( x\right) \in J\right\} \\
&=&\left\{ x\in \mathbb{R} \ |\ 0\in J\right\} \\
&=&\left\{
\begin{array}{cc}\mathbb{R} & \left( if\ 0\in J\right) \\
\phi & \left( if\ 0\not\in J\right)
\end{array}\right.
\end{eqnarray*}となります。全区間\(\mathbb{R} \)や空集合\(\phi \)は区間であるため\(f^{-1}\left( J\right) \)は区間です。以上の結果は先の命題の主張と整合的です。先の命題では\(f\)が単調関数であることを要求しており、狭義単調増加であることまでは要求していません。
先の命題は\(f\)が単調であることを要求しており、\(f\)が連続であることを要求していません。\(f\)が連続でない場合でも単調であれば、\(f\)による区間の逆像は区間になるということです。
\begin{array}{cc}
1 & \left( if\ x\geq 1\right) \\
2 & \left( if\ x<1\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は点\(1\)において連続ではありませんが、単調減少関数です。このとき、\begin{eqnarray*}f^{-1}\left( \left[ \frac{3}{2},\frac{5}{2}\right] \right) &=&(-\infty ,1)
\\
f^{-1}\left( \left[ \frac{1}{2},\frac{3}{2}\right] \right) &=&[1,+\infty )
\\
f^{-1}\left( \left[ 0,\frac{1}{2}\right] \right) &=&\phi
\end{eqnarray*}などが成り立ちますが、これらはいずれも区間です。以上の結果は先の命題の主張と整合的です。
先の命題において\(f\)の定義域が区間であるという条件は必須です。つまり、\(f\)が単調関数である一方で\(f\)の定義域が区間ではない場合、\(f\)による区間の逆像は区間になるとは限りません。以下の例より明らかです。
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)は狭義単調増加関数ですが、\(f\)の定義域\(\left[ 0,1\right] \cup \left[ 2,3\right] \)は区間ではありません。区間\(\left[ \frac{1}{2},\frac{5}{2}\right] \subset \mathbb{R} \)に対して、\begin{eqnarray*}f^{-1}\left( \left[ \frac{1}{2},\frac{5}{2}\right] \right) &=&\left\{ x\in \left[ 0,1\right] \cup \left[ 2,3\right] \ |\ f\left( x\right) \in \left[
\frac{1}{2},\frac{5}{2}\right] \right\} \\
&=&\left\{ x\in \left[ 0,1\right] \cup \left[ 2,3\right] \ |\ x\in \left[
\frac{1}{2},\frac{5}{2}\right] \right\} \\
&=&\left[ \frac{1}{2},1\right] \cup \left[ 2,\frac{5}{2}\right] \end{eqnarray*}となりますが、これは区間ではありません。
演習問題
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)による\(\left[ 0,3\right] \)の像を求め、それが区間であることを確認してください。
\end{equation*}を定めるものとします。この関数を用いて、連続関数による区間の逆像が区間であるとは限らないことを示す例を作ってください。
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