重み付き相乗平均（幾何平均）

重み付き相乗平均（幾何平均）の定義

自然数\(n\in \mathbb{N} \)を任意に選んだ上で、さらに\(n\)個の正の実数\(a_{1},\cdots ,a_{n}>0\)と、以下の条件\begin{equation*}w_{1}+\cdots +w_{n}=1
\end{equation*}を満たす\(n\)個の正の実数\(w_{1},\cdots ,w_{n}>0\)を任意に選びます。底が正の実数で指数が実数であるような累乗は正の実数であるため\(a_{1}^{w_{1}},\cdots ,a_{n}^{w_{n}}\)はいずれも正の実数です。また、正の実数どうしの積は正の実数であるため、\begin{equation*}a_{1}^{w_{1}}\times \cdots \times a_{n}^{w_{n}}
\end{equation*}が1つの正の実数として定まることが保証されます。これを\(w_{1},\cdots ,w_{n}\)を重みとする\(a_{1},\cdots ,a_{n}\)の重み付き相乗平均（weighted geometric mean）や重み付き幾何平均などと呼びます。

重み付き相乗平均の性質と活用例

通常の相乗平均\begin{equation*}
\left( a_{1}\times \cdots \times a_{n}\right) ^{\frac{1}{n}}
\end{equation*}ではすべてのデータ\(a_{1},\cdots ,a_{n}\)が対等な重要度を持っていることが前提になっています。一方、重み付き相乗平均\begin{equation*}a_{1}^{w_{1}}\times \cdots \times a_{n}^{w_{n}}
\end{equation*}では個々のデータ\(a_{1},\cdots ,a_{n}\)が全体に与える影響力や重要度が異なることが前提になっており、その影響力や重要度の違いを重み\(w_{1},\cdots ,w_{n}\)として表現できます。

対数を用いた重み付き相乗平均の算出

\(n\)個の正の実数\(a_{1},\cdots ,a_{n}\)の重み付き相乗平均は、\begin{equation*}WGM=a_{1}^{w_{1}}\times \cdots \times a_{n}^{w_{n}}
\end{equation*}と定義されます。このとき、\begin{eqnarray*}
\ln \left( WGM\right) &=&\ln \left( a_{1}^{w_{1}}\times \cdots \times
a_{n}^{w_{n}}\right) \\
&=&\ln \left( a_{1}^{w_{1}}\right) +\cdots +\ln \left( a_{n}^{w_{n}}\right)
\\
&=&w_{1}\ln \left( a_{1}\right) +\cdots +w_{n}\ln \left( a_{n}\right)
\end{eqnarray*}が成り立つため、以上の関係を用いて\(\ln \left(WGM\right) \)の値を特定した上で、さらにそこから、以下の関係\begin{equation*}WGM=e^{\ln \left( WGM\right) }
\end{equation*}を用いて重み付き相乗平均\(WGM\)を特定することになります。

重み付き相加相乗平均の定理

自然数\(n\in \mathbb{N} \)を任意に選んだ上で、さらに\(n\)個の正の実数\(a_{1},\cdots ,a_{n}>0\)と、以下の条件\begin{equation*}w_{1}+\cdots +w_{n}=1
\end{equation*}を満たす\(n\)個の正の実数\(w_{1},\cdots ,w_{n}>0\)を任意に選びます。このとき、\begin{equation*}w_{1}a_{1}+\cdots +w_{n}a_{n}
\end{equation*}と定義される正の実数を\(w_{1},\cdots ,w_{n}\)を重みとする\(a_{1},\cdots ,a_{n}\)の重み付き相加平均（weighted arithmetic mean）や重み付き算術平均などと呼びます。

重み付き相加平均と重み付き相乗平均の間には以下の関係が成り立ちます。これを重み付き相加相乗平均の定理（Weighted Cauchy’s mean theorem）と呼びます。

演習問題