確認テスト III（1変数関数）

関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
0 & \left( if\ x\in \mathbb{Q} \right) \\
1 & \left( if\ x\in \mathbb{R} \backslash \mathbb{Q} \right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。点\(a\in \mathbb{R} \)を任意に選んだとき、\(x\rightarrow a\)の場合に\(f\left( x\right) \)は有限な実数へ収束しないことを証明してください。

関数\(f:\mathbb{R} \supset \left[ 0,1\right] \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \left[ 0,1\right] \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cl}
\frac{1}{n} & \left( if\ x\in \mathbb{Q} \wedge x\text{は互いに素な}z\in \mathbb{Z} \text{と}n\in \mathbb{N} \text{を用いて}x=\frac{z}{n}\text{と表される}\right) \\
0 & \left( if\ x\in \mathbb{R} \backslash \mathbb{Q} \right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。点\(a\in \left( 0,1\right) \)を任意に選んだとき、\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) =0
\end{equation*}が成り立つことを証明してください。

関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)が以下の条件\begin{equation*}\exists P\in \mathbb{R} \backslash \left\{ 0\right\} ,\ \forall x\in \mathbb{R} :f\left( x+P\right) =f\left( x\right)
\end{equation*}を満たす場合、\(f\)を周期関数（periodic function）と呼びます。以下の問いに答えてください。

1. 関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)が周期関数であるとともに、\begin{equation*}\exists L\in \mathbb{R} :\lim_{x\rightarrow +\infty }f\left( x\right) =L\end{equation*}が成り立つ場合には、\(f\)は定数関数であることを証明してください（20点）。
2. 問1の結果を踏まえた上で、以下の極限\begin{equation*}\lim_{x\rightarrow +\infty }\sin \left( x\right)
   \end{equation*}が有限な実数として定まらないことを証明してください（10点）。

2つの関数\begin{eqnarray*}
f &:&\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \\
g &:&\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray*}が与えられているとともに、点\(a\in \mathbb{R} \)について、\begin{eqnarray*}\exists L_{1} &\in &\mathbb{R} :\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) =L_{1} \\
\exists L_{2} &\in &\mathbb{R} :\lim_{x\rightarrow a}g\left( x\right) =L_{2}
\end{eqnarray*}が成り立つものとします。このとき、\begin{eqnarray*}
&&\left( a\right) \ \lim_{x\rightarrow a}\max \left\{ f\left( x\right)
,g\left( x\right) \right\} =\max \left\{ L_{1},L_{2}\right\} \\
&&\left( b\right) \ \lim_{x\rightarrow a}\min \left\{ f\left( x\right)
,g\left( x\right) \right\} =\min \left\{ L_{1},L_{2}\right\}
\end{eqnarray*}が成り立つことをそれぞれ証明してください（各10点）。

関数\(f:\mathbb{R} \supset \left[ 0,1\right] \)は単調関数であるとともに、点\(a\in \left(0,1\right) \)について、\begin{equation*}\exists L\in \mathbb{R} :\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) =L
\end{equation*}が成り立つものとします。このとき、\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow a}f\left( x\right) =f\left( a\right)
\end{equation*}が成り立つことを証明してください。