確認テスト IV（1変数関数）

関数\(f:\mathbb{R} \supset X\rightarrow \mathbb{R} \)が定義域上の点\(a\in X\)において連続であることをイプシロン・デルタ論法を用いて表現すると、\begin{equation*}\forall \varepsilon >0,\ \exists \delta >0,\ \forall x\in X:\left(
\left\vert x-a\right\vert <\delta \Rightarrow \left\vert f\left( x\right)
-f\left( a\right) \right\vert <\varepsilon \right)
\end{equation*}となります。上の命題において、それぞれの\(\varepsilon >0\)に対して存在が保証される\(\delta >0\)は一意的ではないことを証明してください。

関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
x\sin \left( \frac{1}{x}\right) & \left( if\ x\not=0\right) \\
0 & \left( if\ x=0\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。\(f\)が点\(0\)において連続であることを証明してください。

関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)はそれぞれの\(x\in \mathbb{R} \)に対して、\begin{equation*}f\left( x\right) =\left\{
\begin{array}{cc}
\frac{1}{x} & \left( if\ x\not=0\right) \\
c & \left( if\ x=0\right)
\end{array}\right.
\end{equation*}を定めるものとします。ただし、\(c\in \mathbb{R} \)は定数です。\(f\)が点\(0\)において連続ではないことを証明してください。

\(a<b\)を満たす\(a,b\in \mathbb{R} \)を端点とする関数\begin{equation*}f:\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}が与えられている状況において、それぞれの\(x\in \left[ a,b\right] \)に対して、\begin{equation*}\left\vert f\right\vert \left( x\right) =f\left( x\right)
\end{equation*}を定める関数\begin{equation*}
\left\vert f\right\vert :\mathbb{R} \supset \left[ a,b\right] \rightarrow \mathbb{R} \end{equation*}を定義します。以下の問に答えてください（各10点）。

1. \(f\)が\(\left[ a,b\right] \)上において連続であるならば、\(\left\vert f\right\vert \)もまた\(\left[ a,b\right] \)上において連続でしょうか。主張が常に成り立つ場合には証明を行い、成り立つとは限らない場合には反例を提示してください。
2. \(\left\vert f\right\vert \)が\(\left[ a,b\right] \)上において連続であるならば、\(f\)もまた\(\left[ a,b\right] \)上において連続でしょうか。主張が常に成り立つ場合には証明を行い、成り立つとは限らない場合には反例を提示してください。

関数\(f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \)は以下の条件\begin{equation*}\forall x,y\in \mathbb{R} :f\left( x+y\right) =f\left( x\right) +f\left( y\right)
\end{equation*}を満たすものとします。さらに、以下の条件\begin{equation*}
\lim_{x\rightarrow 0}f\left( x\right) =f\left( 0\right)
\end{equation*}が成り立つものとします。以下の問いに答えてください（各10点）。

1. \(n\in \mathbb{N} \)を任意に選んだとき、\begin{equation*}\forall x\in \mathbb{R} :f\left( nx\right) =nf\left( x\right) \end{equation*}が成り立つことを証明してください。
2. \(z\in \mathbb{Z} \)を任意に選んだとき、\begin{equation*}\forall x\in \mathbb{R} :f\left( zx\right) =zf\left( x\right) \end{equation*}が成り立つことを証明してください。
3. \(q\in \mathbb{Q} \)を任意に選んだとき、\begin{equation*}\forall x\in \mathbb{R} :f\left( qx\right) =qf\left( x\right) \end{equation*}が成り立つことを証明してください。
4. 以上を踏まえた上で、\begin{equation*}\forall x\in \mathbb{R} :f\left( x\right) =xf\left( 1\right)
   \end{equation*}が成り立つことを証明してください。